Монополист Везучий
Монополист Н. Е. Везучий оказался в затруднительном положении: в краткосрочном периоде в оптимуме оказалось, что выручка покрывает только переменные издержки. Спрос на рынке описывается функцией P=150-3Q, в оптимуме монополист продаёт 10 единиц продукции, отсутствует возможность ценовой дискриминации. Найдите вид функции переменных издержек, если известно, что функция средних переменных издержек AVC описывается параболой, минимум которой достигается при Q=12.
Найдём равновесие, если Q=10, P=120..
Восстановим функцию переменных издержек VC. Не важно, уходить с рынка или нет, значит прибыль =-FC. Если в оптимуме прибыль =-FC, то ситуация выглядит так:
В этом случае должны выполняться условия:
1) спрос касается AVC при Q=10
2) AVC=P при Q=10.
Пункты 1 и 2 верны, так как в точке оптимума прибыль:
\pi = P \cdot Q^* - AVC \cdot Q^* - FC = Q^* \cdot (P - AVC) - FC
3) MC=MR при Q=10, так как это точка оптимума.
Введём функцию AVC=aQ^2+bQ+c. Подставим всю известную информацию:
AVC'_Q = P'_Q \Rightarrow 2aQ + b = -3 \Rightarrow 20a + b = -3 \Rightarrow b = -3 - 20a
aQ^2 + bQ + c = 120 \Rightarrow 100a + 10b + c = 120 \Rightarrow c = 120 - 100a - 10 \cdot (-3 - 20a) \Rightarrow c = 150 + 100a
Q_b = -\frac{b}{2a} = 12 \Rightarrow b = -24a = -3 - 20a \Rightarrow a = \frac{3}{4} \quad b = -18
c = 150 + 100a = 225 \Rightarrow VC = 0,75Q^3 - 18Q^2 + 225Q
Разбалловка: всего нужно найти 3 коэффициента, при Q^3, при Q^2 и при Q.
За первый верно найденный коэффициент ставится 4 балла, за второй – 4 балла, за третий – 3 балла.
Ответ:
VC=0,75Q^3-18Q^2+225Q