(†) Порядковый ранг
В одной странной стране сосуществуют две странные фирмы олигополиста. Назовем их Кир и Ас. Фирмы производят один вид продукции. Спрос q=100-p. TC=0 у каждой фирмы. Максимум каждая фирма может произвести 40 единиц. Взаимодействие устроено так: в первом периоде фирмы одновременно выбирают объемы производства, цена устанавливается в зависимости от кол-ва произведенной продукции. Во 2 периоде фирма Ас может поменять цену и объем производства, но только для своей продукции, цена и объемы производства фирмы Кир не меняются. В третьем периоде фирмы меняются местами, Кир меняет цену и объем производства, а Ас нет. Дальше все повторяется, то есть в чётный период Ас меняет, Кир нет, а в нечётный Кир меняет, а Ас нет. Первым делом потребители покупают ту продукцию, на которую цена ниже, при этом покупают ее те, кто готов заплатить больше всего, если цены равны, то покупают у фирмы, которая в этот период НЕ может менять цену и производство. Изменение цены, начиная со второго периода, возможно только на целые значения. Фирмы близоруки, то есть планируют только на один период, максимизируя в нем прибыль.
А). Найдите цены, объемы производства и прибыли во втором и третьем периодах.
Б). Что будет с ценой в периоде 12 и в периоде 13 ?
А) Обозначим фирму Ас как фирму 1, а фирму Кир как фирму 2. Найдем равновесие в первом периоде как равновесие по Курно. Q_d=100-P, функция прибыли каждой фирмы будет Pr_i=(100-Q_1-Q_2)Q_i. Промаксимизировав это как параболы ветвями вниз находим кривые реакции: Q_1=50-0,5Q_2, Q_2=50-0,5Q_2. Решив систему, находим равновесие Q_1=Q_2=P=100/3. Посмотрим, что произойдёт во втором периоде. Теперь есть два варианта, какую цену на свою продукцию назначит фирма Ас. Если она будет выше или равна, чем у Кир, то её прибыль составит Pr=(200/3-Q_1)Q_1. Поскольку, это парабола ветвями вниз, то оптимум при P=Q=100/3 и Pr_1=10000/9. Но мы можем сделать по-другому. Достаточно понизить нашу цену на 1 относительно старой и продать все доступные нам 40 единиц продукции, благо величина спроса позволяет, а покупать будут сначала у нас (цена ниже, чем у конкурентов). Понижаем на 1, а не меньше, так как по условию можем менять цену только на целую величину. Понижать ниже невыгодно, на кол-во продаваемой продукции это не повлияет. Pr_1=\frac{40*97}{3}, что выше, чем было при сохранении старых цен и кол-ва.
Pr_2=\frac{80*100}{9}, так как купить у них готовы только 200/3-40=80/3, это кол-во, которое они продадут (но произведут 40 ), цена останется прежней, тк они не могут её менять. Это ответ ко 2 периоду. В 3 периоде уже фирма 2 будет делать аналогичные действия, только для реализации им придётся снизить цену на 2, а не на 1. (Если снизить на 1, то будет равенство цен, и сначала будут покупать у конкурентов, у нас получится продать существенно меньше). Отсюда Q_2=40, P_2=\frac{94}{3}, Pr_2=\frac{94*40}{3}. Q_{1 \, проданное} = \frac{83}{3}, \, Q_{1 \, произведённое} = 40 , P=\frac{97}{3}, Pr=\frac{97*83}{9}.
Б) В предыдущем пункте мы сделали вывод об изменении цены вниз. Оптимально в каждом периоде, где фирма может поменять цену, снизить её на 2. Однако, в каком-то i -том периоде нам может быть выгодно отклонить цену вверх, и максимизировать прибыль уже на остаточном спросе, так как цена будет слишком низкой для выгодной реализации продукта. Мы будем максимизировать функцию (60-Q)Q. Это парабола ветвями вниз. Оптимум при Q=P=30. Однако помним, что изменение цены может быть только целым, а значит берём наиболее близкую к оптимальной P=\frac{91}{3} и тогда Q=\frac{89}{3}. Pr=\frac{91*89}{9}. Именно с этой прибылью мы будем сравнивать возможную прибыль фирмы, уменьшающей свою цену. Заметим, что в первых периодах (периоды 2-4 ) ограничение при этом не выполняется (цена должна быть больше или равна цене фирмы-оппонента), и тогда, чтобы получить возможный максимум нам нужно назначить цену на ограничении, однако прибыль будет меньше, чем найденная выше. Тогда, если прибыль от снижения цены выше \frac{91*89}{9}, то она и будет выше чем этот самый возможный максимум. Составим уравнение прибыли в зависимости от периода для фирмы, принимающей решение. Заметим закономерность. Цена фирмы принимающей решение в периоде n будет \frac{103-3n}{3}. Кол-во реализуемой продукции, фирмой, принимающей решение, равно 40.
\frac{(103 - 3n) \cdot 40}{3} \geq \frac{91 \cdot 89}{9}; \, n \in \mathbb{Z}
Решив это неравенство получим, что n\leq 11. Это значит, что в 12 периоде фирме уже будет выгодно отклониться вверх. Это чётный период, значит это будет фирма 1. Равновесие в период 12 : Q_1 = \frac{89}{3}; \, P_1 = \frac{91}{3}; \, Pr_1 = \frac{91 \cdot 89}{9} . Для фирмы 2 в этот период будет цена, рассчитанная по формуле P_2 = \frac{103 - 3 \cdot 11}{3} = \frac{70}{3}.
В 13 периоде фирма 2, принимающая решение оказывается в ситуации, когда отклониться вниз относительно цены оппонента будет невыгодно. Остаточный спрос будет \frac{211}{3}-P_2. Умножив на P получим функцию прибыли в виде параболы ветвями вниз. Оптимум при P=\frac{105,5}{3}, наиболее близкая доступная нам цена P_2=\frac{106}{3} (так как менять можем только на целые значения). Q_2=35. Конечно нужно сравнить с ситуацией, когда фирма 2 ставит цену на 1 меньшую чем цена фирмы 1, чтобы продать весь доступный им товар. В данном случае это цена P_2=\frac{88}{3}Q=40. Однако в данном случае прибыль меньше \frac{40 \cdot 88}{3} < \frac{35 \cdot 106}{3}.
Таким образом ответом для 13 периода будут именно Q=35 и P_2=\frac{106}{3}.