(†) Порядковый ранг
В одной странной стране сосуществуют две странные фирмы олигополиста. Назовем их Кир и Ас. Фирмы производят один вид продукции. Спрос . у каждой фирмы. Максимум каждая фирма может произвести единиц. Взаимодействие устроено так: в первом периоде фирмы одновременно выбирают объемы производства, цена устанавливается в зависимости от кол-ва произведенной продукции. Во периоде фирма Ас может поменять цену и объем производства, но только для своей продукции, цена и объемы производства фирмы Кир не меняются. В третьем периоде фирмы меняются местами, Кир меняет цену и объем производства, а Ас нет. Дальше все повторяется, то есть в чётный период Ас меняет, Кир нет, а в нечётный Кир меняет, а Ас нет. Первым делом потребители покупают ту продукцию, на которую цена ниже, при этом покупают ее те, кто готов заплатить больше всего, если цены равны, то покупают у фирмы, которая в этот период НЕ может менять цену и производство. Изменение цены, начиная со второго периода, возможно только на целые значения. Фирмы близоруки, то есть планируют только на один период, максимизируя в нем прибыль.
А). Найдите цены, объемы производства и прибыли во втором и третьем периодах.
Б). Что будет с ценой в периоде и в периоде ?
А) Обозначим фирму Ас как фирму , а фирму Кир как фирму . Найдем равновесие в первом периоде как равновесие по Курно. , функция прибыли каждой фирмы будет . Промаксимизировав это как параболы ветвями вниз находим кривые реакции: , . Решив систему, находим равновесие . Посмотрим, что произойдёт во втором периоде. Теперь есть два варианта, какую цену на свою продукцию назначит фирма Ас. Если она будет выше или равна, чем у Кир, то её прибыль составит . Поскольку, это парабола ветвями вниз, то оптимум при и . Но мы можем сделать по-другому. Достаточно понизить нашу цену на относительно старой и продать все доступные нам единиц продукции, благо величина спроса позволяет, а покупать будут сначала у нас (цена ниже, чем у конкурентов). Понижаем на , а не меньше, так как по условию можем менять цену только на целую величину. Понижать ниже невыгодно, на кол-во продаваемой продукции это не повлияет. , что выше, чем было при сохранении старых цен и кол-ва.
, так как купить у них готовы только , это кол-во, которое они продадут (но произведут ), цена останется прежней, тк они не могут её менять. Это ответ ко периоду. В периоде уже фирма будет делать аналогичные действия, только для реализации им придётся снизить цену на , а не на . (Если снизить на , то будет равенство цен, и сначала будут покупать у конкурентов, у нас получится продать существенно меньше). Отсюда , , . , , .
Б) В предыдущем пункте мы сделали вывод об изменении цены вниз. Оптимально в каждом периоде, где фирма может поменять цену, снизить её на . Однако, в каком-то -том периоде нам может быть выгодно отклонить цену вверх, и максимизировать прибыль уже на остаточном спросе, так как цена будет слишком низкой для выгодной реализации продукта. Мы будем максимизировать функцию . Это парабола ветвями вниз. Оптимум при . Однако помним, что изменение цены может быть только целым, а значит берём наиболее близкую к оптимальной и тогда . . Именно с этой прибылью мы будем сравнивать возможную прибыль фирмы, уменьшающей свою цену. Заметим, что в первых периодах (периоды ) ограничение при этом не выполняется (цена должна быть больше или равна цене фирмы-оппонента), и тогда, чтобы получить возможный максимум нам нужно назначить цену на ограничении, однако прибыль будет меньше, чем найденная выше. Тогда, если прибыль от снижения цены выше , то она и будет выше чем этот самый возможный максимум. Составим уравнение прибыли в зависимости от периода для фирмы, принимающей решение. Заметим закономерность. Цена фирмы принимающей решение в периоде будет . Кол-во реализуемой продукции, фирмой, принимающей решение, равно .
Решив это неравенство получим, что . Это значит, что в периоде фирме уже будет выгодно отклониться вверх. Это чётный период, значит это будет фирма . Равновесие в период : . Для фирмы в этот период будет цена, рассчитанная по формуле
В периоде фирма , принимающая решение оказывается в ситуации, когда отклониться вниз относительно цены оппонента будет невыгодно. Остаточный спрос будет . Умножив на получим функцию прибыли в виде параболы ветвями вниз. Оптимум при , наиболее близкая доступная нам цена (так как менять можем только на целые значения). . Конечно нужно сравнить с ситуацией, когда фирма ставит цену на меньшую чем цена фирмы , чтобы продать весь доступный им товар. В данном случае это цена . Однако в данном случае прибыль меньше .
Таким образом ответом для периода будут именно и .