Цель фирмы – максимизация прибыли.

Поэтому она максимизирует функцию PR=pq-TC

Рассмотрим оптимальное поведение фирмы на каждом из участков функции

\pi = \begin{cases} pq - \frac{q^2}{2}, & 0 \leq q \leq 7, \\ pq - (-27q + 2q^2 + 115,5), & q > 7. \end{cases}

Найдем оптимальное количество в зависимости от цены на каждом из участков функции. (На каждом участке функция представляет собой параболу с ветвями вниз).

q^* = p, \quad q \leq 7 \\ q^* = \frac{p + 27}{4}, \quad q > 7

Осталось понять следующее. Функция предложения – зависимость Q(P). То есть, чтобы задать функцию предложения, необходимо для каждого значения цены указать соответствующий ей оптимальный уровень выпуска. Рассмотрим, при каких ценах фирме «Альфа» выгодно производить до 7 единиц продукции, а когда более 7 единиц продукции.

Для этого подставим найденные функции q(p) в функции прибыли. Решим неравенство.

pq - \frac{q^2}{2} \leq pq - \left(-27q + 2q^2 + 115.5 \right) \\ p^2 - \frac{p^2}{2} \leq \frac{p + 27}{4} - \left(-27 \frac{p + 27}{4} + 2 \left(\frac{p + 27}{4} \right)^2 + 115.5 \right) \\ 3p^2 - 54p + 195 \leq 0 \\ p^2 - 18p + 65 \leq 0 \\ p \in [5; 13]

Таким образом, если цена меньше 5, то мы используем первый участок. Далее мы используем второй участок (т.е. производим q^*=\frac{p+27}{4} ). Таким образом, получаем ответ.

Ответ:

q = \begin{cases} p, & 0 \leq p < 5 \\ \frac{p + 27}{4}, & p \geq 5 \end{cases}