Задание 3. Оптимизации не боитесь?
Один предприниматель решил основать компанию по производству игровых приставок, но не одну, а сразу n штук! Игровые приставки производятся с помощью труда и капитала. Q — выпуск фирмы, K — количество капитала, использованного каждой фирмой, а L — количество труда, нанятого одной фирмой. При этом для каждой компании производственная функция одинакова и имеет вид:
Q(L, K) = \sqrt[4]{K \times L}
Каждая компания приобретает труд и капитал по разным ценам, причем первая фирма покупает и труд по цене 1 единица за каждый ресурс, вторая — по цене две единицы, третья — четыре и так далее так, что каждая следующая фирма покупает каждый ресурс по цене вдвое выше предыдущей.
a) Выведите функцию издержек фирмы в зависимости от ее номера. ( 10 баллов)
Для каждой компании:
K = \left(\frac{Q^4}{L}\right), \text{ а } TC = P_k \cdot K + P_l \cdot L,
где (P_k) - цена капитала, а (P_l) - цена труда. Так как они равны, далее обозначим за (P).
Имеем систему из двух уравнений:
1) TC = P \cdot K + P \cdot L
2) K = \left(\frac{Q^4}{L}\right)
Тогда:
TC = P \left(\frac{Q^4}{L} + L\right) \min, \quad L \geq 0
Приравнивая (L) и (K) :
L = K = Q^2
В зависимости от номера фирмы, цена ресурса будет равна P = 2^{(n-1)}, тогда:
TC_n = 2^{(n-1)} \cdot 2Q^2 = 2^n \cdot Q^2
b) Выведите издержки предпринимателя, если он использует все фирмы рационально, а всего фирм n. ( 20 баллов)
MC на каждом заводе монотонно возрастают, значит необходимо «подравнивать» MC, чтобы они были как можно меньше.
MC_1 = MC_2 = \ldots = MC_n
Выразим зависимость Q(MC) и просуммируем по горизонтали:
Q_n = \frac{MC}{2^{(n+1)}}
Это геометрическая прогрессия со знаменателем 2, суммируя получаем:
Q = 0.5 \cdot MC \cdot (1 - 0.5^n)
Тогда:
MC = \frac{2Q}{(1 - 0.5^n)}, интегрируя, получаем TC :
TC = \frac{Q^2}{(1 - 0.5^n)}