Джинны, Джинни и экономический рост
В стране Джиннии живут джинны. Их экономический рост зависит от коэффициента Джинни. Прирост ВВП в процентных пунктах от базового года (, –коэффициент Джинни за этот год). Коэффициент Джинни в нулевой год . Всего в стране три равных по численности группы населения. Внутри групп доход распределён равномерно. При этом доходы у первой и второй, и второй и третей групп отличаются на одну величину. Мудрый правитель Джинн, не относящий себя к населению страны, может вводить налоги в виде фиксированного изъятия и с помощью них менять доход групп. Ограничения –в результате налогообложения группы не могут поменяться местами и не могут потерять больше от своего первоначального дохода в абсолютном значении. Все налоги Джинн оставляет в бюджете, они больше не вернутся в экономику страны. Налоги вводятся один раз на один год каждый год. Полезность джинна-правителя , где – прирост ВВП за все время в процентных пунктах, а вторая часть – сумма всех коэффициентов джинни за лет умноженная на . Прирост ВВП полностью собирается правителем в казну и никак не отражается в доходах граждан.
А) Что будет делать правитель, если максимизирует полезность за год ? При прочих равных он хочет собрать и оставить у себя как можно больше налогов.
Б) А если за ?
Заметим, что полезность правителя за любой год представляет собой параболу ветвями вниз относительно корня из . Максимум находится в вершине. К этому показателю коэффициента Джинни будет стремиться правитель. Найдем теперь текущие значения дохода граждан. Мы знаем, что они отличаются на одну сумму и знаем коэффициент Джинни. Получаем систему уравнений. .
Нижнее уравнение отражает подсчёт Джинни через площади, верхнее – суммарный доход граждан. При этом за принят доход самых бедных, а за – величина, на которую отличается доход у двух соседних групп. Решив получаем . Найдём, как меняется коэффициент Джинни при изменении доли дохода первой группы и второй группы. Обозначим за и новые доли дохода бедной и средней групп. Записав площадь под кривой Лоренца от двух параметров получим
Приравняем к Запишем доли дохода ; где – налоговые сборы с первой группы, – со второй, – с третьей. ; при этом ; ; и это единственные значения при которых будет выполнено равенство (при этом ). Это будет ответом на первый пункт. Во второй период правителю нужно сохранить текущий коэффициент Джинни. Для этого в процентном отношении он должен собрать одинаковые налоги со всех. Поскольку при прочих равных он максимизирует общие налоговые сборы, то он соберёт во второй период со всех групп по их дохода.