Заметим, что полезность правителя за любой год представляет собой параболу ветвями вниз относительно корня из g. Максимум находится в вершине. \sqrt{g} = \frac{2}{3} \rightarrow g^* = \left( \frac{2}{3} \right)^2. К этому показателю коэффициента Джинни будет стремиться правитель. Найдем теперь текущие значения дохода граждан. Мы знаем, что они отличаются на одну сумму и знаем коэффициент Джинни. Получаем систему уравнений. \left\{ \begin{aligned} 3y + 3x &= 1 \\ 1 - 3y - \frac{5}{3}x &= \frac{2}{9} \end{aligned} \right..

Нижнее уравнение отражает подсчёт Джинни через площади, верхнее – суммарный доход граждан. При этом за y принят доход самых бедных, а за x – величина, на которую отличается доход у двух соседних групп. Решив получаем y=x=1/6. Найдём, как меняется коэффициент Джинни при изменении доли дохода первой группы и второй группы. Обозначим за n_1 и n_2 новые доли дохода бедной и средней групп. Записав площадь под кривой Лоренца от двух параметров получим G = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}(2n_1 + n_2).

Приравняем к \frac{4}{9} \rightarrow \frac{1}{3} = 2n_1 + n_2. Запишем доли дохода n_1 = \frac{\frac{1}{6}t}{1 - t - T - m} ; \, n_2 = \frac{\frac{1}{3}T}{1 - t - T - m} ; где t – налоговые сборы с первой группы, T – со второй, m – с третьей. \frac{1}{3} = \frac{\frac{2}{3} - 2t - T}{1 - t - T - m} \rightarrow 5t + 2T = 1 + m ; при этом t_{max}=1/9 ; T_{max}=2/9 ; и это единственные значения при которых будет выполнено равенство (при этом m=0 ). Это будет ответом на первый пункт. Во второй период правителю нужно сохранить текущий коэффициент Джинни. Для этого в процентном отношении он должен собрать одинаковые налоги со всех. Поскольку при прочих равных он максимизирует общие налоговые сборы, то он соберёт во второй период со всех групп по 2/3 их дохода.