И - индекс
Многие из вас знакомы с индексом монопольной власти - индексом Лернера. Кто-то из вас слышали про индекс Херфиндаля — Хиршмана на курсах Олмат в прошлом году или на заключительном этапе прошлого года. Помимо этих индексов есть ещё много других, например - индекс Розенблюта (Холла Тайдмана) который рассчитывается как:
I_r = \frac{1}{2 \sum\limits_{i=1}^{n} i * k_i - 1}
где все фирмы отранжированы по объему производства (фирма с номером i=1 имеет наибольшую долю рынка, а с номером i=n - наименьшую), a k_i - доля каждой компании на рынке. Будем считать, что k_i будет считаться как доля выпуска i -ой фирмы в общем выпуске.
Например, если на рынке всего две фирмы который выпускают количество равное 2 и 3, то имеем
k_1=3/(2+3)=0,6, k_2=2/(2+3)=0,4
и I_r = \frac{1}{2(1 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.4) - 1} = \frac{5}{9}
а) Объясните в чём экономический смысл индекса, почему чем меньшим в результате вычислений оказывается значение этого индекса, тем менее монополизированным выглядит исследуемый сектор?
б) В чём экономический смысл домножать доли фирм на их ранжированные номера?
в) Допустим количество фирм на рынке n \geq 4 производящих положительный выпуск найдите все возможные значения, которые может принимать индекса Розенблюта на этом рынке.
г) Одна компания, имеющая наименьшую долю рынка ушла с рынка, объемы выпуска остальных компаний при этом не изменились. В какую сторону может измениться индекс I_r после этого?
a) чем меньше значение индекса, тем больше знаменатель дроби. В экономическом смысле это значит, что количество фирм в отрасли очень большое(n \rightarrow \infty),значит тем менее монополизированный наш рынок.
б) Таким ранжированием индекс становится более чувствительным к тому, насколько много конкурентов на данном рынке. Даже более мелким конкурентам индекс придает больший вес.
в) Индекс достигает минимального значения, когда все фирмы производят одинаковую долю:
k_i = \frac{1}{n} \cdot I_{\text{min}} = \frac{1}{2\left(\frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \dots + \frac{n}{n}\right) - 1} = \frac{1}{n}
Индекс достигает наибольшего значения, когда 1 фирма получает практически весь рынок (k_1 \rightarrow 1), а остальные фирмы занимают околонулевые доли (k_i \rightarrow 1).
Тогда I_{\text{max}} = \frac{1}{2\left(1(1-\varepsilon) + 2(0 + \varepsilon) + \dots + n(0 + \varepsilon)\right) - 1} = 1 - \varepsilon
Значит I \in \left[\frac{1}{n}, 1\right)
г) новая доля фирмы i\left(s_i\right) = \frac{k_i}{1 - x}, где x - это доля ушедшей фирмы. Рассмотрим разницу s_i - k_i = k_i \cdot \frac{x}{1 - x}. Просуммируем эту сумму для всех фирм и получим: \left(k_1 + \dots + k_{n-1}\right) \cdot \frac{x}{1-x}.
Также рассмотрим такие же суммы, но уже от 2,3 и т.д до n-1, это все чудо по таким же рассуждениям равно \left(k_i + \dots + k_{n-1}\right) \frac{x}{1-x}.
Просуммируем эти разницы \frac{x}{1-x} \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=1}^{n-1} k_j
Чтобы оценить то, как изменилась сумма в знаменателе индекса сравним дельту
сумм с нулем:
x \left(\frac{1}{1-x} \left(k_1 + 2k_2 + \dots + (n-1)k_{n-1}\right) - n\right)
зная что k_1+k_2+...+k_{n-1}=1-x, получим, что это выражение равно
x\left(1 + 1 - k_1 + 1 - k_2 + \dots + 1 - k_{n-1} - n\right)
причем 1 + 1 - k_1 + 1 - k_2 + \dots + 1 - k_{n-1} < n.
Значит итоговая сумма в знаменателе уменьшилась, получается, что сам индекс увеличился.