a) чем меньше значение индекса, тем больше знаменатель дроби. В экономическом смысле это значит, что количество фирм в отрасли очень большое(n \rightarrow \infty),значит тем менее монополизированный наш рынок.

б) Таким ранжированием индекс становится более чувствительным к тому, насколько много конкурентов на данном рынке. Даже более мелким конкурентам индекс придает больший вес.

в) Индекс достигает минимального значения, когда все фирмы производят одинаковую долю:

k_i = \frac{1}{n} \cdot I_{\text{min}} = \frac{1}{2\left(\frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \dots + \frac{n}{n}\right) - 1} = \frac{1}{n}

Индекс достигает наибольшего значения, когда 1 фирма получает практически весь рынок (k_1 \rightarrow 1), а остальные фирмы занимают околонулевые доли (k_i \rightarrow 1).

Тогда I_{\text{max}} = \frac{1}{2\left(1(1-\varepsilon) + 2(0 + \varepsilon) + \dots + n(0 + \varepsilon)\right) - 1} = 1 - \varepsilon

Значит I \in \left[\frac{1}{n}, 1\right)

г) новая доля фирмы i\left(s_i\right) = \frac{k_i}{1 - x}, где x - это доля ушедшей фирмы. Рассмотрим разницу s_i - k_i = k_i \cdot \frac{x}{1 - x}. Просуммируем эту сумму для всех фирм и получим: \left(k_1 + \dots + k_{n-1}\right) \cdot \frac{x}{1-x}.

Также рассмотрим такие же суммы, но уже от 2,3 и т.д до n-1, это все чудо по таким же рассуждениям равно \left(k_i + \dots + k_{n-1}\right) \frac{x}{1-x}.

Просуммируем эти разницы \frac{x}{1-x} \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=1}^{n-1} k_j

Чтобы оценить то, как изменилась сумма в знаменателе индекса сравним дельту

сумм с нулем:

x \left(\frac{1}{1-x} \left(k_1 + 2k_2 + \dots + (n-1)k_{n-1}\right) - n\right)

зная что k_1+k_2+...+k_{n-1}=1-x, получим, что это выражение равно

x\left(1 + 1 - k_1 + 1 - k_2 + \dots + 1 - k_{n-1} - n\right)

причем 1 + 1 - k_1 + 1 - k_2 + \dots + 1 - k_{n-1} < n.

Значит итоговая сумма в знаменателе уменьшилась, получается, что сам индекс увеличился.