Докажем, что новое КПВ будет иметь вид: y=(k+1)(100-x-4k)

Доказательство 1 :

Если мы отдаем 4k кружек после производства по новой технологии, то на новой КПВ y=(k+1)(100-x) нам будет недоступен диапазон при 4k> x \geq 0, так как 4k кружек надо обязательно произвести. Тогда запишем x_{new}=x+4k. Заметим, что новое КПВ можно записать в координатах (x_{new}, \ y), а значит, наше КПВ имеет вид:

y=(k+1)(100-x_{new})=(k+1)(100-x-4k).

Доказательство 2 :

Новое КПВ имеет вид: y=(k+1)(100-x), перепишем его в виде: x=100-\frac{y}{k+1}.

При любом значении y нам необходимо отдать 4k кружек за усовершенствование технологии, значит, усовершенствованное КПВ после оплаты будет иметь вид:

x=100-\frac{y}{k+1}-4k, перепишем его в стандартный вид: y=(k+1)(100-x-4k).

Чтобы найти максимальное количество чайников, достаточно промаксимизировать y по k. Максимум y достигается при x=0, так как y отрицательно зависит от x.

y=96k-4k^2+100. Максимизируем через параболу ветвями вниз k^*=12, y_{max}=676.

Ответ: 676 чайников.