Усовершенствование технологий. Олимпиада Колокольникова 2 тур 2025 (8 класс)
Фирма «Тюменский чай» производит кружки для чая (x) и чайники (y). Экономист Тимофей смог вывести функцию, задающую КПВ данной фирмы: y=100-x. Также известно, что жители Тюмени покупают кружки и чайники только в пропорции 3:1.
а) ( 2 балла) Найдите количество чайников, которое купят потребители в оптимуме. Фирме предлагают усовершенствовать технологию производства чайников и изменить КПВ на y=(k+1)(100-x). Однако взамен фирма должна отдать 4k кружек, причем сделать это она может уже после производства по новой технологии.
КПВ задано функцией y=100-x, давайте найдём точку на КПВ, в которой x больше y в 3 раза (пропорция потребления), все такие точки лежат на прямой y=x/3 (кривая комплектов), поэтому достаточно пересечь прямые y=100-x и y=x/3.
100-x=x/3 \to x=75
Тогда x=75 (кружки), y=25 (чайники).
Ответ: 75 кружек и 25 чайников.
б) ( 4 балла) Постройте КПВ кружек и чайников после платы за технологию в зависимости от выбранного k, запишите уравнение этой КПВ. Определите, какое максимальное количество чайников может произвести фирма «Тюменский чай», если она может самостоятельно выбирать k.
Докажем, что новое КПВ будет иметь вид: y=(k+1)(100-x-4k)
Доказательство 1 :
Если мы отдаем 4k кружек после производства по новой технологии, то на новой КПВ y=(k+1)(100-x) нам будет недоступен диапазон при 4k> x \geq 0, так как 4k кружек надо обязательно произвести. Тогда запишем x_{new}=x+4k. Заметим, что новое КПВ можно записать в координатах (x_{new}, \ y), а значит, наше КПВ имеет вид:
y=(k+1)(100-x_{new})=(k+1)(100-x-4k).
Доказательство 2 :
Новое КПВ имеет вид: y=(k+1)(100-x), перепишем его в виде: x=100-\frac{y}{k+1}.
При любом значении y нам необходимо отдать 4k кружек за усовершенствование технологии, значит, усовершенствованное КПВ после оплаты будет иметь вид:
x=100-\frac{y}{k+1}-4k, перепишем его в стандартный вид: y=(k+1)(100-x-4k).
Чтобы найти максимальное количество чайников, достаточно промаксимизировать y по k. Максимум y достигается при x=0, так как y отрицательно зависит от x.
y=96k-4k^2+100. Максимизируем через параболу ветвями вниз k^*=12, y_{max}=676.
Ответ: 676 чайников.
в) ( 2 балла) Определите, какое количество чайников купят жители Тюмени в зависимости от k.
Мы знаем кривую комплектов y=x/3.
Пересечем ее с новым КПВ: y=(k+1)(100-x-4k).
Получим x = \frac{(k+1) \cdot (100 - 4k) \cdot 3}{3k + 4}, y = \frac{(k+1) \cdot (100 - 4k)}{3k + 4}
Ответ: \frac{(k+1) \cdot (100 - 4k)}{3k + 4} чайников.
г) ( 4 балла) Тимофей подсчитывал плюсы от данной технологии и пришел к выводу, что она не сможет увеличить продажи чайников даже до 28. Прав ли Тимофей?
Для решения данной задачи нам достаточно сравнить \frac{96k-4k^2+100}{4+3k} и 28.
96k-4k^2+100>112+84k=> 12k-4k^2-12>0=>3k-k^2-3>0 выделим в левой части полный квадрат: -(k-1,5)^2-0,75>0 Тогда очевидно, что неравенство не выполняется, т.к. левая часть всегда отрицательна, а, значит, Тимофей прав.