Усовершенствование технологий. Олимпиада Колокольникова 2 тур 2025 (8 класс)
Фирма «Тюменский чай» производит кружки для чая и чайники . Экономист Тимофей смог вывести функцию, задающую КПВ данной фирмы: . Также известно, что жители Тюмени покупают кружки и чайники только в пропорции .
а) ( балла) Найдите количество чайников, которое купят потребители в оптимуме. Фирме предлагают усовершенствовать технологию производства чайников и изменить КПВ на . Однако взамен фирма должна отдать кружек, причем сделать это она может уже после производства по новой технологии.
Ответ
КПВ задано функцией , давайте найдём точку на КПВ, в которой больше в раза (пропорция потребления), все такие точки лежат на прямой (кривая комплектов), поэтому достаточно пересечь прямые и .
Тогда (кружки), (чайники).
Ответ: кружек и чайников.
б) ( балла) Постройте КПВ кружек и чайников после платы за технологию в зависимости от выбранного , запишите уравнение этой КПВ. Определите, какое максимальное количество чайников может произвести фирма «Тюменский чай», если она может самостоятельно выбирать .
Ответ
Докажем, что новое КПВ будет иметь вид:
Доказательство :
Если мы отдаем кружек после производства по новой технологии, то на новой КПВ нам будет недоступен диапазон при , так как кружек надо обязательно произвести. Тогда запишем . Заметим, что новое КПВ можно записать в координатах , а значит, наше КПВ имеет вид:
.
Доказательство :
Новое КПВ имеет вид: , перепишем его в виде: .
При любом значении нам необходимо отдать кружек за усовершенствование технологии, значит, усовершенствованное КПВ после оплаты будет иметь вид:
, перепишем его в стандартный вид: .
Чтобы найти максимальное количество чайников, достаточно промаксимизировать по . Максимум достигается при , так как отрицательно зависит от .
. Максимизируем через параболу ветвями вниз , .
Ответ: чайников.
в) ( балла) Определите, какое количество чайников купят жители Тюмени в зависимости от .
Ответ
Мы знаем кривую комплектов .
Пересечем ее с новым КПВ: .
Получим
Ответ: чайников.
г) ( балла) Тимофей подсчитывал плюсы от данной технологии и пришел к выводу, что она не сможет увеличить продажи чайников даже до . Прав ли Тимофей?
Ответ
Для решения данной задачи нам достаточно сравнить и .
выделим в левой части полный квадрат: Тогда очевидно, что неравенство не выполняется, т.к. левая часть всегда отрицательна, а, значит, Тимофей прав.