S032
Население одной бедной страны питается одним только картофельно-луковым супом. Картофель и лук люди могут купить только в одной из двух торговых систем, которые продают указанные продукты в виде следующих суповых наборов:
1) набор из 1 картофелины и 2 луковиц (цена набора 20 денежных единиц);
2) набор из 4 картофелин и 1 луковицы (цена набора 30 денежных единиц).
Функция полезности каждого жителя имеет вид: U=XY, где X – число картофелин, Y – число луковиц. Месячный доход каждого жителя составляет 800 денежных единиц. Весь он расходуется на приобретение картофеля и лука.
Сколько картофелин и луковиц ежемесячно съедает каждый житель, максимизируя свою функцию полезности?
Пусть a – число наборов типа a, b – число наборов типа b.
Бюджет
I = 20a + 30b = 800. \quad а = 40 – 1,5b.\quad X = a + 4b = 40 – 1,5b + 4b = 40 + 2,5b.
Y = 2a + b = 80 – 3b + b = 80 – 2b.\quad U = XY = (40 + 2,5b)( 80 – 2b) = – 5b^2 + 120b + 3200.
U' = – 10b + 120 = 0.\quad b = 12.\quad a=22.\quad X = a + 4b = 70.\quad Y = 2a + b = 56.
Ответ. 70 картофелин и 56 луковиц.