Задание 5. Олимпиада Колокольникова 2024 (8 класс)
Преступление и наказание
Разбойник Данила стащил из казны уездного города 100 тысяч рублей и решил вложить эти деньги в банк. Банк предлагает открыть ему один из двух вкладов:
I : На 3 года под 30\% годовых с капитализацией (сложные проценты)
II : На 3 года под i\% годовых без капитализации (простые проценты)
а) ( 10 баллов) Найдите i, при котором Даниле будет безразлично, каким из двух вкладов воспользоваться.
Банковский богатырь Егор вычислил, что Данила принес краденые деньги. Теперь разбойник попал в черный список всех банков на 3 года и в течение этого времени не сможет открывать вклады. Егор верит в то, что Данила исправится, и предлагает ему исправительный срок 2 года. Если Данила согласится на исправительный срок, то ему придется вернуть украденные деньги, а по окончании срока он получит обратно S рублей и его уберут из черного списка. Пусть i=10\%, а ставка дисконтирования r=20\%.
Сравним суммы, которые Данила получит через 3 года. Сумма денег на счете Данилы при выборе первого вклада: S_I=100*(1+0,3)^3=219,7 тыс. рублей ( 2 балла). Сумма при выборе второго вклада: S_{II}=100*(1+\frac{i}{100}*3) тыс. рублей ( 3 балла). Даниле будет безразлично, какой из двух вкладов выбрать, если S_I=S_{II} ( 2 балла).
219{,}7 = 100 \times \left(1 + \frac{i}{100} \times 3\right)
219{,}7 = 100 + 3i
3i = 119{,}7
i = \frac{119{,}7}{3} = 39{,}9 \quad ( 3 балла)
б) ( 10 баллов) При каком минимальном S разбойник встанет на путь исправления?
Для справки. Ставка дисконтирования показывает, на сколько процентов обесцениваются деньги за один год. Например, если r=10\%, то нам безразлично, получить 1000 рублей сейчас или 1100 рублей через год.
Сравним ценности обоих вариантов для Данилы в настоящем времени. Ценность 100 тысяч на руках сейчас равна S_1=100 тыс. рублей ( 2 балла). Ценность варианта с путем исправления найдем с учетом наилучшего доступного вклада.
Так как i=10<39,9, то первый вклад будет выгоднее, следовательно, Данила выберет именно его ( 1 балл за определение оптимального вклада). Тогда найдем ценность
S_2 = \frac{S \times (1 + 0{,}3)}{(1 + 0{,}2)^3} ( 3 балла). Разбойник встанет на путь исправления, если S_2\geq S_1 ( 2 балла).
\frac{S \times (1 + 0{,}3)}{(1 + 0{,}2)^3} \geq 100 тыс. рублей
S \geq \frac{100 \times 1{,}2^3}{1{,}3} тыс. рублей
Тогда минимальное необходимое для исправления Данилы S = \frac{100 \times 1{,}2^3}{1{,}3} тыс. рублей
( S \approx 132{,}9 тыс. рублей. Принимается ответ в любом виде) ( 2 балла).