Страховка от погоды
На далекой планете М погода бывает трех типов: жара, дожди или стужа. Каждый календарный день держится погода ровно одного типа (на следующий день тип погоды может смениться, а может и не смениться). Достоверно прогнозировать погоду на планете М никто не умеет. Сегодня страховая компания «Улыбка природы» предлагает своим клиентам застраховаться от плохой погоды завтра. Существует страховка трех видов: от жары, от дождей и от стужи. За каждый рубль, уплаченный сегодня в качестве страхового взноса от жары, «Улыбка природы» готова заплатить k рублей в случае наступления жары завтра (если завтра жара не наступает, то «Улыбка природы» по этой страховке ничего не выплачивает). Аналогично, за каждый рубль, уплаченный сегодня в качестве страхового взноса от дождей и стужи, «Улыбка природы» выплатит и рублей в случае наступления завтра дождей и стужи соответственно. Здесь . Клиентам разрешается делать любой положительный страховой взнос.
(3 балла) а) Пусть . Один клиент «Улыбки природы» утверждает, что он «покупая различные страховки, может гарантированно заработать некоторую положительную сумму денег». Верно ли это утверждение?
(7 баллов) б) Пусть . При каких m Вы, покупая различные страховки компании «Улыбка природы», можете гарантированно заработать положительную сумму денег?
а) Да, клиент прав. Предположим, что мы застрахуемся на 100 рублей от жары, на 100 рублей от дождя и на 100 рублей от стужи. Мы заплатили компании «Улыбка природы» 300 рублей. По условию задачи известно, что завтра наступит один из трех типов погоды: жара, дождь или стужа. Следовательно, вне зависимости от того, какая погода наступит завтра, выплата ровно по одной из страховок принесет нам 500 рублей. Таким образом, мы гарантированно (без какого-либо риска) заработаем 200 рублей, а «Улыбка природы» потеряет эту же сумму. Видимо, «Улыбке природы» стоит подумать над тем, чтобы сменить своих финансовых аналитиков.(3 балла)
б) Предположим, что мы заплатим в качестве страхового взноса от жары, дождей и стужи , и рублей соответственно, . В сумме мы заплатили рублей. В случае, если завтра наступит жара, страховая компания выплатит нам рублей; если дождь – рублей; если стужа – рублей. Следовательно, мы можем гарантированно (без какого-либо риска) заработать денег в том и только в том случае, если существуют такие , что наша прибыль в каждом из трех возможных случаев больше нуля (3 балла):
Сложив первые два неравенства, получаем, что . Тогда из первого неравенства следует, что . Из третьего неравенства получаем, что . Отсюда следует, что , или . Это необходимое условие, то есть при мы не сможем гарантированно заработать денег (3 балла). Покажем, что условие является достаточным, то есть при любом у нас получится получить гарантированную прибыль. Пусть . Выберем
Легко видеть, что при этих значениях все три неравенства выполняются. Таким образом, условие является необходимым и достаточным (1 балл).
Отметим, что эту задачу можно было решать и графическим способом: положив , на плоскости () можно построить область, удовлетворяющую приведенным выше неравенствам. При эта область является треугольником, а при – пустым множеством.