а) Да, клиент прав. Предположим, что мы застрахуемся на 100 рублей от жары, на 100 рублей от дождя и на 100 рублей от стужи. Мы заплатили компании «Улыбка природы» 300 рублей. По условию задачи известно, что завтра наступит один из трех типов погоды: жара, дождь или стужа. Следовательно, вне зависимости от того, какая погода наступит завтра, выплата ровно по одной из страховок принесет нам 500 рублей. Таким образом, мы гарантированно (без какого-либо риска) заработаем 200 рублей, а «Улыбка природы» потеряет эту же сумму. Видимо, «Улыбке природы» стоит подумать над тем, чтобы сменить своих финансовых аналитиков.(3 балла)

б) Предположим, что мы заплатим в качестве страхового взноса от жары, дождей и стужи p_1, p_2 и p_3 рублей соответственно, p_1,p_2,p_3>0. В сумме мы заплатили p_1+p_2+p_3 рублей. В случае, если завтра наступит жара, страховая компания выплатит нам 2p_1 рублей; если дождь – 3p_2 рублей; если стужа – mp_3 рублей. Следовательно, мы можем гарантированно (без какого-либо риска) заработать денег в том и только в том случае, если существуют такие p_1,p_2,p_3>0, что наша прибыль в каждом из трех возможных случаев больше нуля (3 балла):

\begin{cases} p_1 - p_2 - p_3 > 0 \\ -p_1 + 2p_2 - p_3 > 0 \\ -p_1 - p_2 + (m - 1)p_3 > 0 \end{cases}

Сложив первые два неравенства, получаем, что p_2>2p_3. Тогда из первого неравенства следует, что p_1>p_2+p_3>3p_3. Из третьего неравенства получаем, что (m-1)p_3>p_1+p_2>5p_3. Отсюда следует, что m-1>5, или m>6. Это необходимое условие, то есть при m \leq 6 мы не сможем гарантированно заработать денег (3 балла). Покажем, что условие m>6 является достаточным, то есть при любом m>6 у нас получится получить гарантированную прибыль. Пусть m>6. Выберем

p_1 = \frac{7m + 12}{8}, \quad p_2 = \frac{5m + 6}{18}, \quad p_3 = 1.

Легко видеть, что при этих значениях p_1,p_2,p_3 все три неравенства выполняются. Таким образом, условие m>6 является необходимым и достаточным (1 балл).

Отметим, что эту задачу можно было решать и графическим способом: положив p_3=1, на плоскости (p_1,p_2) можно построить область, удовлетворяющую приведенным выше неравенствам. При m>6 эта область является треугольником, а при m \geq 6 – пустым множеством.