Страховка от погоды
На далекой планете М погода бывает трех типов: жара, дожди или стужа. Каждый календарный день держится погода ровно одного типа (на следующий день тип погоды может смениться, а может и не смениться). Достоверно прогнозировать погоду на планете М никто не умеет. Сегодня страховая компания «Улыбка природы» предлагает своим клиентам застраховаться от плохой погоды завтра. Существует страховка трех видов: от жары, от дождей и от стужи. За каждый рубль, уплаченный сегодня в качестве страхового взноса от жары, «Улыбка природы» готова заплатить k рублей в случае наступления жары завтра (если завтра жара не наступает, то «Улыбка природы» по этой страховке ничего не выплачивает). Аналогично, за каждый рубль, уплаченный сегодня в качестве страхового взноса от дождей и стужи, «Улыбка природы» выплатит и рублей в случае наступления завтра дождей и стужи соответственно. Здесь . Клиентам разрешается делать любой положительный страховой взнос.
(3 балла) а) Пусть . Один клиент «Улыбки природы» утверждает, что он «покупая различные страховки, может гарантированно заработать некоторую положительную сумму денег». Верно ли это утверждение?
(7 баллов) б) Пусть . При каких m Вы, покупая различные страховки компании «Улыбка природы», можете гарантированно заработать положительную сумму денег?
Ответ
а) Да, клиент прав. Предположим, что мы застрахуемся на 100 рублей от жары, на 100 рублей от дождя и на 100 рублей от стужи. Мы заплатили компании «Улыбка природы» 300 рублей. По условию задачи известно, что завтра наступит один из трех типов погоды: жара, дождь или стужа. Следовательно, вне зависимости от того, какая погода наступит завтра, выплата ровно по одной из страховок принесет нам 500 рублей. Таким образом, мы гарантированно (без какого-либо риска) заработаем 200 рублей, а «Улыбка природы» потеряет эту же сумму. Видимо, «Улыбке природы» стоит подумать над тем, чтобы сменить своих финансовых аналитиков.(3 балла)
б) Предположим, что мы заплатим в качестве страхового взноса от жары, дождей и стужи , и рублей соответственно, . В сумме мы заплатили рублей. В случае, если завтра наступит жара, страховая компания выплатит нам рублей; если дождь – рублей; если стужа – рублей. Следовательно, мы можем гарантированно (без какого-либо риска) заработать денег в том и только в том случае, если существуют такие , что наша прибыль в каждом из трех возможных случаев больше нуля (3 балла):
Сложив первые два неравенства, получаем, что . Тогда из первого неравенства следует, что . Из третьего неравенства получаем, что . Отсюда следует, что , или . Это необходимое условие, то есть при мы не сможем гарантированно заработать денег (3 балла). Покажем, что условие является достаточным, то есть при любом у нас получится получить гарантированную прибыль. Пусть . Выберем
Легко видеть, что при этих значениях все три неравенства выполняются. Таким образом, условие является необходимым и достаточным (1 балл).
Отметим, что эту задачу можно было решать и графическим способом: положив , на плоскости () можно построить область, удовлетворяющую приведенным выше неравенствам. При эта область является треугольником, а при – пустым множеством.