S046
В одном социуме существуют две равные по численности группы населения. Внутри каждой группы доход распределен равномерно, при этом доход каждого представителя второй группы выше, чем доход любого представителя первой группы. Функции полезности первой и второй групп в расчете на год имеют вид: U_1=X_1Y_1 ; U_2=X_2Y_2^5 (X_1, X_2 – объемы потребления блага X ; Y_1, Y_2 – объемы потребления блага Y ). Годовой объем потребления блага X в социуме (то есть обеими группами, вместе взятыми) составляет 1500 единиц, блага Y – 875 единиц. Коэффициент Джини в социуме равен 0,1. Определите, сколько единиц каждого блага потребляет в течение года каждая группа населения.
Критерии оптимума для функций полезности Кобба-Дугласа: P_XX_1=P_YY_1 (для первой группы); P_XX_2=\frac{1}{5}P_YY_2 (для второй группы).
Поделив первое из этих уравнений на второе, получим: \frac{X_1}{X_2}=\frac{5Y_1}{Y_2} \quad (1).
Кроме того, из первого уравнения следует, что Y_1=\frac{P_X}{P_Y}X_1.
Как мы знаем, X_1+X_2=1500 ; Y_1+Y_2=875. Отсюда X_2=1500-X_1 ; Y_2 = 875 - Y_1 = 875 - \frac{P_X}{P_Y}X_1.
Учитывая это, перепишем следующим образом уравнение (1) : \frac{X_1}{1500 - X_1} = \frac{\frac{5P_X}{P_Y}X_1}{875 - \frac{P_X}{P_Y}X_1}. X_1 = 1875 - 218,75 \frac{P_Y}{P_X}. \quad (2).
Пусть k – это доля первой группы (получающей меньший доход) в общем доходе социума. k=\frac{I_1}{I_1+I_2}, где I_1 – доход первой группы, I_2 – доход второй группы. Тогда кривая Лоренца для рассматриваемой страны имеет следующий вид:
Коэффициент Джини G = \frac{0,5 - \frac{0,5k}{2} - \frac{k+1}{2} \times 0,5}{0,5} = 0,5 - k. По условию G=0,1. Значит, k=\frac{I_1}{I_1+I_2}=0,4. Отсюда 0,6I_1-0,4I_2=0\quad (3).
I_1 = P_X X_1 + P_Y Y_1 = P_X X_1 + P_Y \frac{P_X}{P_Y} X_1 = 2 P_X X_1 \quad (4)
I_2 = P_X X_2 + P_Y Y_2 = P_X (1500 - X_1) + P_Y \left( 875 - \frac{P_X}{P_Y} X_1 \right) = 1500 P_X + 875 P_Y - 2 P_X X_1 \quad (5)
Подставив данные из уравнений (2), (4) и (5) в уравнение (3), получим:
0.6 \times 2 P_X X_1 - 0.4 \times \left(1500 P_X + 875 P_Y - 2 P_X X_1\right) = 0. \quad P_X X_1 - 600 P_X - 350 P_Y = 0.
2 P_X \left(1875 - 218.75 \frac{P_Y}{P_X}\right) - 600 P_X - 350 P_Y = 0. \quad 3150 P_X - 787.5 P_Y = 0. \quad P_Y = 4 P_X.
X_1 = 1875 - 218.75 \frac{P_Y}{P_X} = 1000.\quad Y_1 = \frac{P_X}{P_Y} X_1 = 250. \quad X_2 = 1500 - X_1 = 500. \quad Y_2 = 875 - Y_1 = 625.
Ответ. Первая группа потребляет 1000 единиц блага X и 250 единиц блага Y, вторая группа – 500 единиц блага X и 625 единиц блага Y.