Критерии оптимума для функций полезности Кобба-Дугласа: P_XX_1=P_YY_1 (для первой группы); P_XX_2=\frac{1}{5}P_YY_2 (для второй группы).

Поделив первое из этих уравнений на второе, получим: \frac{X_1}{X_2}=\frac{5Y_1}{Y_2} \quad (1).

Кроме того, из первого уравнения следует, что Y_1=\frac{P_X}{P_Y}X_1.

Как мы знаем, X_1+X_2=1500 ; Y_1+Y_2=875. Отсюда X_2=1500-X_1 ; Y_2 = 875 - Y_1 = 875 - \frac{P_X}{P_Y}X_1.

Учитывая это, перепишем следующим образом уравнение (1) : \frac{X_1}{1500 - X_1} = \frac{\frac{5P_X}{P_Y}X_1}{875 - \frac{P_X}{P_Y}X_1}. X_1 = 1875 - 218,75 \frac{P_Y}{P_X}. \quad (2).

Пусть k – это доля первой группы (получающей меньший доход) в общем доходе социума. k=\frac{I_1}{I_1+I_2}, где I_1 – доход первой группы, I_2 – доход второй группы. Тогда кривая Лоренца для рассматриваемой страны имеет следующий вид:

Коэффициент Джини G = \frac{0,5 - \frac{0,5k}{2} - \frac{k+1}{2} \times 0,5}{0,5} = 0,5 - k. По условию G=0,1. Значит, k=\frac{I_1}{I_1+I_2}=0,4. Отсюда 0,6I_1-0,4I_2=0\quad (3).

I_1 = P_X X_1 + P_Y Y_1 = P_X X_1 + P_Y \frac{P_X}{P_Y} X_1 = 2 P_X X_1 \quad (4)

I_2 = P_X X_2 + P_Y Y_2 = P_X (1500 - X_1) + P_Y \left( 875 - \frac{P_X}{P_Y} X_1 \right) = 1500 P_X + 875 P_Y - 2 P_X X_1 \quad (5)

Подставив данные из уравнений (2), (4) и (5) в уравнение (3), получим:

0.6 \times 2 P_X X_1 - 0.4 \times \left(1500 P_X + 875 P_Y - 2 P_X X_1\right) = 0. \quad P_X X_1 - 600 P_X - 350 P_Y = 0.

2 P_X \left(1875 - 218.75 \frac{P_Y}{P_X}\right) - 600 P_X - 350 P_Y = 0. \quad 3150 P_X - 787.5 P_Y = 0. \quad P_Y = 4 P_X.

X_1 = 1875 - 218.75 \frac{P_Y}{P_X} = 1000.\quad Y_1 = \frac{P_X}{P_Y} X_1 = 250. \quad X_2 = 1500 - X_1 = 500. \quad Y_2 = 875 - Y_1 = 625.

Ответ. Первая группа потребляет 1000 единиц блага X и 250 единиц блага Y, вторая группа – 500 единиц блага X и 625 единиц блага Y.