(а) Когда решение о выпуске принимает Бета, она уже знает, какое решение о выпуске приняла компания Альфа, и старается выбрать тот объем продукции из доступных, который давал бы ей наибольшую прибыль. Найдём, сколько продукции нужно выпустить фирме Бета, если Альфа выпустит 13 и 17 единиц.

Если q_A = 13, то Бета получит прибыль P_B = (40 - 13 - 5) * 5 - 2 * 5 = 100, если выпустит 5 единиц продукции, и прибыль P_B = (40 - 13 - 9) * 9 - 2 * 9 = 144, если выпустит 9 единиц продукции. Таким образом, если фирма Альфа выпустит 13 единиц продукции, то фирме Бета стоит выпустить 9 единиц, чтобы добиться наибольшей прибыли. (2 балла)

Если q_A = 17, то Бета получит прибыль P_B = (40 - 17 - 5) * 5 - 2 * 5 = 80, если выпустит 5 единиц продукции, и прибыль P_B = (40 - 17 - 9) * 9 - 2 * 9 = 108, если выпустит 9 единиц продукции. Таким образом, если фирма Альфа выпустит 17 единиц продукции, то фирме Бета стоит выпустить 9 единиц, чтобы добиться наибольшей прибыли. (2 балла)

Таким образом, фирма Альфа понимает, что Бета в любом случае будет выпускать 9 единиц продукции, и Альфа остается только решить, выпустить ли ей 13 или 17 единиц. Если она выпустит 13 единиц продукции, то получит прибыль P_A = (40 - 13 - 9) * 9 - 4 * 9 = 182. Если же она выпустит 17 единиц продукции, то получит прибыль P_A = (40 - 17 - 9) * 9 - 4 * 17 = 170. Таким образом, фирме Альфа стоит выпустить 13 единиц продукции, что даст ей наибольшую прибыль. (1 балл)

Тогда на рынке будет продано 13+9=22 единиц продукции по цене 40-22=18. (1 балл)

(б) Вместе компании смогут выпустить 13+5=18, или 13+9=22, или 17+5=22, или 17+9=26 единиц продукции. Можно заметить, что наибольшую совокупную выручку отрасль получала бы при продаже 20 единиц продукции. Увеличение объема продаж снижало бы выручку и увеличивало бы издержки отрасли, а снижение объема продаж уменьшало бы выручку, но снижало бы и издержки. Поэтому достаточно найти прибыль отрасли только в первых трех случаях. Найдем прибыль отрасли в каждом случае. (4 балла)

\Pi_{соворк}(18) = (40 - 18) * 18 - 4 * 13 - 2 * 5 = 334

\Pi_{соворк}(22) = (40 - 22) * 22 - 4 * 13 - 2 * 9 = 326

\Pi_{соворк}(22) = (40 - 22) * 22 - 4 * 17 - 2 * 5 = 318

\Pi_{соворк}(18) = (40 - 26) * 26 - 4 * 17 - 2 * 9 = 278

Таким образом, совместно принимая решение о выпуске, фирмы получат максимальную совокупную прибыль 344. В пункте (а) Альфа получила прибыль 182, а фирма Бета 144. Бета согласилась бы на сделку, только если бы ее доля совокупной прибыли от сделки давала бы ей не меньшую выгоду, чем в пункте (а). Эта доля должна быть не меньше, чем \frac{144}{344} \approx 0.4311 = 43.11\%. (4 балла)

(в) Используем ту же логику поиска оптимальных значений выпуска, что и в пункте (а). Если компания Бета перейдет к новому технологическому процессу, то она сможет выпустить тот объем выпуска, который даст ей максимальную прибыль.

P_B = (40 - q_A - q_B) * q_B - 2 * q_B - X

Максимум функции P_B, график которой от переменной q_B представляет собой параболу с ветвями вниз, достигается при q_B = 12.5, если q_A = 13 и при q_B = 10.5, если q_A = 17. (2 балла)

В первом случае Бета получит прибыль (40-13-12.5)*17.5-2*12.5-X=156.25-X, а во втором случае (40-17-10.5)*10.5-2*10.5-X=110.25-X.

Зная, сколько будет выпускать фирма Бета в ответ на объявление о выпуске Альфы, Альфа выберет тот вариант выпуска, который даст ей наибольшую прибыль.

\Pi_{\alpha} = (40 - 13 - 12.5) * 13 - 4 * 13 = 136.5

\Pi_{\alpha} = (40 - 17 - 10.5) * 17 - 4 * 17 = 144.5

Таким образом, если Бета перейдет к новому технологическому процессу, то фирма Альфа будет выпускать 17 единиц продукции, фирма Бета 10.5 единиц. (3 балла)

Заметим сразу, что фирме Альфа не выгоден переход фирмы Бета к новому технологическому процессу, поскольку её прибыль снизится со 182 до 144.5. (1 балл)

Фирме Бета стоит переходить к новому технологическому процессу, только если прибыль ее не уменьшится по сравнению с пунктом (а): 110.25 - X \geq 144, т.е. не существует X>0, при котором технологические изменения были бы целесообразны. (2 балла)