Альфа и Бета
На текущий период только две компании Альфа и Бета имеют право на производство лицензионной продукции, спрос на которую представлен функцией D(p) = 40 - p. Функция издержек производства этого оборудования у компании Альфа имеет вид TC(q_A) = 4q_A, а у компании Бета - TC(q_B) = 2q_B. Но технологический процесс в обеих компаниях устроен таким образом, что фирма Альфа может выпускать либо 13, либо 17 единиц продукции, а компания Бета — либо 5, либо 9 единиц. Исторически сложилось так, что конкуренция между фирмами устроена следующим образом: сначала компания Альфа публикует, какой объем товара будет выпускаться, и только потом фирма Бета принимает решение об объеме выпуска. Известно также, что компания Бета никогда не нарушает взятых на себя обязательств и у конкурента нет сомнений, что так будет и в данном случае. Весь выпускаемый компанией объем товара может быть продан на рынке по той цене, которую потребители готовы будут за него заплатить. Утилизация нереализованной продукции обходится обеим фирмам очень дорого и невыгодно компании. Обе компании осведомлены о возможных своих прибылях и прибылях конкурента во всех случаях, о том, что каждое из них максимизирует свою прибыль, и знают, что обо всем этом осведомлены и их конкуренты.
(а) (6 баллов) Сколько единиц продукции будет продано на рынке и по какой цене?
(б) (8 баллов) Компания Альфа готова предложить компании Бета сделку, согласно которой решение об объеме выпуска компании будут принимать совместно. В этом случае прибыль от рыночных продаж они будут делить между собой в определенной пропорции. Если компания Бета примет такое предложение, то на какую минимальную долю от совокупной прибыли она будет претендовать?
(в) (11 баллов) Пусть теперь компания Бета может перейти к технологическому процессу, позволяющему производить любое количество товара. Переход к нему потребует денежных затрат, но предельные издержки производства при этом не изменятся. Если компании принимают решение независимо, не соглашаясь с конкуренцией, как в пункте (а), то какую максимальную сумму X будет готова заплатить компания Бета за переход к новому технологическому процессу? Будет ли фирме Альфа выгоден такой переход?
(а) Когда решение о выпуске принимает Бета, она уже знает, какое решение о выпуске приняла компания Альфа, и старается выбрать тот объем продукции из доступных, который давал бы ей наибольшую прибыль. Найдём, сколько продукции нужно выпустить фирме Бета, если Альфа выпустит 13 и 17 единиц.
Если q_A = 13, то Бета получит прибыль P_B = (40 - 13 - 5) * 5 - 2 * 5 = 100, если выпустит 5 единиц продукции, и прибыль P_B = (40 - 13 - 9) * 9 - 2 * 9 = 144, если выпустит 9 единиц продукции. Таким образом, если фирма Альфа выпустит 13 единиц продукции, то фирме Бета стоит выпустить 9 единиц, чтобы добиться наибольшей прибыли. (2 балла)
Если q_A = 17, то Бета получит прибыль P_B = (40 - 17 - 5) * 5 - 2 * 5 = 80, если выпустит 5 единиц продукции, и прибыль P_B = (40 - 17 - 9) * 9 - 2 * 9 = 108, если выпустит 9 единиц продукции. Таким образом, если фирма Альфа выпустит 17 единиц продукции, то фирме Бета стоит выпустить 9 единиц, чтобы добиться наибольшей прибыли. (2 балла)
Таким образом, фирма Альфа понимает, что Бета в любом случае будет выпускать 9 единиц продукции, и Альфа остается только решить, выпустить ли ей 13 или 17 единиц. Если она выпустит 13 единиц продукции, то получит прибыль P_A = (40 - 13 - 9) * 9 - 4 * 9 = 182. Если же она выпустит 17 единиц продукции, то получит прибыль P_A = (40 - 17 - 9) * 9 - 4 * 17 = 170. Таким образом, фирме Альфа стоит выпустить 13 единиц продукции, что даст ей наибольшую прибыль. (1 балл)
Тогда на рынке будет продано 13+9=22 единиц продукции по цене 40-22=18. (1 балл)
(б) Вместе компании смогут выпустить 13+5=18, или 13+9=22, или 17+5=22, или 17+9=26 единиц продукции. Можно заметить, что наибольшую совокупную выручку отрасль получала бы при продаже 20 единиц продукции. Увеличение объема продаж снижало бы выручку и увеличивало бы издержки отрасли, а снижение объема продаж уменьшало бы выручку, но снижало бы и издержки. Поэтому достаточно найти прибыль отрасли только в первых трех случаях. Найдем прибыль отрасли в каждом случае. (4 балла)
\Pi_{соворк}(18) = (40 - 18) * 18 - 4 * 13 - 2 * 5 = 334
\Pi_{соворк}(22) = (40 - 22) * 22 - 4 * 13 - 2 * 9 = 326
\Pi_{соворк}(22) = (40 - 22) * 22 - 4 * 17 - 2 * 5 = 318
\Pi_{соворк}(18) = (40 - 26) * 26 - 4 * 17 - 2 * 9 = 278
Таким образом, совместно принимая решение о выпуске, фирмы получат максимальную совокупную прибыль 344. В пункте (а) Альфа получила прибыль 182, а фирма Бета 144. Бета согласилась бы на сделку, только если бы ее доля совокупной прибыли от сделки давала бы ей не меньшую выгоду, чем в пункте (а). Эта доля должна быть не меньше, чем \frac{144}{344} \approx 0.4311 = 43.11\%. (4 балла)
(в) Используем ту же логику поиска оптимальных значений выпуска, что и в пункте (а). Если компания Бета перейдет к новому технологическому процессу, то она сможет выпустить тот объем выпуска, который даст ей максимальную прибыль.
P_B = (40 - q_A - q_B) * q_B - 2 * q_B - X
Максимум функции P_B, график которой от переменной q_B представляет собой параболу с ветвями вниз, достигается при q_B = 12.5, если q_A = 13 и при q_B = 10.5, если q_A = 17. (2 балла)
В первом случае Бета получит прибыль (40-13-12.5)*17.5-2*12.5-X=156.25-X, а во втором случае (40-17-10.5)*10.5-2*10.5-X=110.25-X.
Зная, сколько будет выпускать фирма Бета в ответ на объявление о выпуске Альфы, Альфа выберет тот вариант выпуска, который даст ей наибольшую прибыль.
\Pi_{\alpha} = (40 - 13 - 12.5) * 13 - 4 * 13 = 136.5
\Pi_{\alpha} = (40 - 17 - 10.5) * 17 - 4 * 17 = 144.5
Таким образом, если Бета перейдет к новому технологическому процессу, то фирма Альфа будет выпускать 17 единиц продукции, фирма Бета 10.5 единиц. (3 балла)
Заметим сразу, что фирме Альфа не выгоден переход фирмы Бета к новому технологическому процессу, поскольку её прибыль снизится со 182 до 144.5. (1 балл)
Фирме Бета стоит переходить к новому технологическому процессу, только если прибыль ее не уменьшится по сравнению с пунктом (а): 110.25 - X \geq 144, т.е. не существует X>0, при котором технологические изменения были бы целесообразны. (2 балла)