а) Способ 1. Типичная фирма максимизирует прибыль

\pi(q) = Pq - q^2 - 4 \rightarrow \max_{q \geq 0}.

Графиком этой квадратичной функции является парабола с ветвями вниз и вершиной в точке q^* (P) = 0.5P (это не что иное, как функция предложения каждой вошедшей на рынок фирмы). Заметим, что при оптимальном поведении фирмы её прибыль обнуляется в ноль при цене P=4 :

\max \pi(q) = P \cdot 0.5P - (0.5P)^2 - 4 = 0.25P^2 - 4 = 0.

Значит, именно такая цена сложится в долгосрочном равновесии. Потребители захотят купить по этой цене Q_0(4) = 36 единиц продукции, тогда как каждая действующая на рынке фирма произведет по q^*(4) = 2 единицы; значит, на рынок войдет Q_0(4)/q^* = 18 фирм.

Способ 2. Вспомним, что долгосрочное равновесие на совершенно конкурентном рынке определяется условием P = MC = AC ; заметим, что MC возрастают, поэтому данное условие может быть применено.

Имеем MC = TC'(q) = 2q, AC = TC/q = q + 4/q. Из условия MC = AC получаем 2q = q + 4/q, значит P = MC = 2q^* = 4. Потребители по этой цене захотят купить Q_0(4) = 36 единиц продукции; значит, на рынок войдет Q_0(4)/q^* = 18 фирм.

Способ 3. отличается от способа 2 лишь тем, как получается q^* = 2. А именно, q^* = 2 можно найти из задачи минимизации средних издержек, AC = q + 4/q \rightarrow \min,

AC' = 1 - 4/q^2 = 0,

производная меняет знак с минуса на плюс, \(q^* = 2\). Тот же ответ можно получить из неравенства о средних.

Ответ: P=4, Q=36, N=18.

б) В пункте а было установлено, что функция предложения каждой фирмы имеет вид q^* = 0.5P, рыночное предложение составит Q_S = 18q^* = 9P. Тогда в новом краткосрочном равновесии Q_1(P) = Q_S(P), или 400 - P = 9P, откуда P=40, Q=360.

Ответ: P=40, Q=360.

в) В пункте а) получено, что в долгосрочном равновесии P=4, вывод этой цены не зависит от функции спроса. Потребители по этой цене захотят купить Q_1(4) = 396 единиц продукции, каждая фирма произведет по q^*(4) = 2 единицы; значит, на рынок выйдет Q_1(4)/q^* = 198 фирм.

Ответ: P=4, Q=396, N=198.