Шок на рынке масок (10-11 класс)
Рынок медицинских масок в стране Z совершенно конкурентный. Функция издержек фирмы, если она вошла на рынок, задается уравнением TC(q) = q^2 + 4, где q — количество масок, произведенное данной фирмой (в тыс. шт.). Если фирма не входит на рынок, ее прибыль равна нулю. В краткосрочном равновесии число фирм на рынке фиксировано. В долгосрочном равновесии число фирм определяется таким образом, что каждая фирма безразлична, входить на рынок или нет.
а) (14 баллов) Изначально рыночный спрос на маски задавался уравнением Q_0(P) = 40 - P и рынок находился в состоянии долгосрочного равновесия. Найдите рыночную цену, объем и количество фирм в этом равновесии.
б) (6 баллов) В связи с пандемией спрос на маски резко вырос — до Q_1(P) = 400 - P. Однако в краткосрочном периоде новые фирмы не успели войти на рынок, чтобы удовлетворить возросший спрос, и число фирм осталось таким же, как в пункте а). Найдите рыночную цену и объем в новом краткосрочном равновесии.
в) (10 баллов) С течением времени спрос остался на уровне Q_1(P) = 400 - P, однако на рынок вошли новые фирмы, желающие зарабатывать. Установилось новое долгосрочное равновесие. Найдите рыночные цену, объем и количество фирм в этом равновесии.
а) Способ 1. Типичная фирма максимизирует прибыль
\pi(q) = Pq - q^2 - 4 \rightarrow \max_{q \geq 0}.
Графиком этой квадратичной функции является парабола с ветвями вниз и вершиной в точке q^* (P) = 0.5P (это не что иное, как функция предложения каждой вошедшей на рынок фирмы). Заметим, что при оптимальном поведении фирмы её прибыль обнуляется в ноль при цене P=4 :
\max \pi(q) = P \cdot 0.5P - (0.5P)^2 - 4 = 0.25P^2 - 4 = 0.
Значит, именно такая цена сложится в долгосрочном равновесии. Потребители захотят купить по этой цене Q_0(4) = 36 единиц продукции, тогда как каждая действующая на рынке фирма произведет по q^*(4) = 2 единицы; значит, на рынок войдет Q_0(4)/q^* = 18 фирм.
Способ 2. Вспомним, что долгосрочное равновесие на совершенно конкурентном рынке определяется условием P = MC = AC ; заметим, что MC возрастают, поэтому данное условие может быть применено.
Имеем MC = TC'(q) = 2q, AC = TC/q = q + 4/q. Из условия MC = AC получаем 2q = q + 4/q, значит P = MC = 2q^* = 4. Потребители по этой цене захотят купить Q_0(4) = 36 единиц продукции; значит, на рынок войдет Q_0(4)/q^* = 18 фирм.
Способ 3. отличается от способа 2 лишь тем, как получается q^* = 2. А именно, q^* = 2 можно найти из задачи минимизации средних издержек, AC = q + 4/q \rightarrow \min,
AC' = 1 - 4/q^2 = 0,
производная меняет знак с минуса на плюс, \(q^* = 2\). Тот же ответ можно получить из неравенства о средних.
Ответ: P=4, Q=36, N=18.
б) В пункте а было установлено, что функция предложения каждой фирмы имеет вид q^* = 0.5P, рыночное предложение составит Q_S = 18q^* = 9P. Тогда в новом краткосрочном равновесии Q_1(P) = Q_S(P), или 400 - P = 9P, откуда P=40, Q=360.
Ответ: P=40, Q=360.
в) В пункте а) получено, что в долгосрочном равновесии P=4, вывод этой цены не зависит от функции спроса. Потребители по этой цене захотят купить Q_1(4) = 396 единиц продукции, каждая фирма произведет по q^*(4) = 2 единицы; значит, на рынок выйдет Q_1(4)/q^* = 198 фирм.
Ответ: P=4, Q=396, N=198.