Номинальная жесткость
Спрос на продукцию монополиста в год t имеет вид: q_t = 16/x_t^2 . Здесь x_t — реальная цена единицы продукции монополиста: x_t = a_t^t / P_t , где P_t — общий уровень цен в экономике, а a_t^t — номинальная цена единицы продукции. Реальные издержки фирмы в расчете на единицу продукции постоянны и равны 2. Выпуск монополиста относительно мал по сравнению с общим выпуском товаров и услуг в экономике, поэтому его решения не влияют на общий уровень цен. Уровень инфляции в экономике в годовом выражении всегда равен \pi \geq 0 и известен монополисту. Горизонт планирования монополиста — два года (текущий и следующий), он назначает номинальные цены так, чтобы максимизировать суммарную реальную прибыль за этот период.
a) (2 балла) Пусть монополист может назначать разные номинальные цены на текущий и следующий год. Как его оптимальный выпуск будет зависеть от инфляции?
б) (6 баллов) Предположим, что в силу технологических ограничений монополист может менять номинальную цену на свою продукцию только один раз в два года (то есть должен назначить одинаковую цену на текущий и следующий год). Для каждого значения инфляции найдите оптимальный выпуск монополиста в год назначения цены. В каком случае этот выпуск выше: при нулевой инфляции или при положительной?
в) (1 балл) Приведите содержательное экономическое объяснение полученного различия в ответах пунктов а) и б).
а) В этом случае прибыль фирмы в период имеет вид:
\left( \frac{16}{a_1^t} - 32 \cdot \frac{P_1^2}{(a_1^t)^2} \right) + \left( \frac{16}{a_2^t} - 32 \cdot \frac{P_2^2}{(a_2^t)^2} \right)
Это выражение можно максимизировать как сумму двух независимых парабол (так как цена в каждом периоде назначается отдельно). В каждом случае прибыль максимальна при выпуске, равном 1. В условиях отсутствия номинальной жесткости оптимальный выпуск не зависит от инфляции.
б) Реальная прибыль монополиста в году t имеет вид
\frac{a_t^*}{P_t} q_t - 2q_t = 16 \frac{P_t}{a_t^*} - 32 \frac{P_t^2}{(a_t^*)^2}
Поэтому суммарную реальную прибыль за два года можно записать вот так:
\left( 16 \frac{P_1}{a^*} - 32 \frac{P_1^2}{(a^*)^2} \right) + \left( 16 \frac{P_2}{a^*} - 32 \frac{P_2^2}{(a^*)^2} \right)
Обратите внимание, что у a^* нет индекса, так как монополист устанавливает номинальную цену один раз для двух периодов сразу. Упростим это выражение, а также воспользуемся тем, что по условию P_2 = (1 + \pi) P_1 :
16 P_1 \left( \frac{2 + \pi}{a^*} - \frac{2P_1 \left( 1 + (1 + \pi)^2 \right)}{(a^*)^2} \right)
Относительно 1/a^* это выражение является параболой с ветвями, направленными вниз. Поэтому можем найти её вершину. Это и будет точка, в которой прибыль фирмы максимальна.
\frac{1}{a^*} = \frac{2 + \pi}{4 P_1 \left( 2 + 2\pi + \pi^2 \right)}
Отсюда следует, что:
\frac{P_1}{a^*} = \frac{2 + \pi}{4(2 + 2\pi + \pi^2)}
Выпуск первого периода равен:
q_1 = 16 \left( \frac{P_1}{a^*} \right)^2 = 16 \left( \frac{2 + \pi}{4(2 + 2\pi + \pi^2)} \right)^2
При нулевом уровне инфляции выпуск равен единице, а при положительном уровне инфляции он меньше единицы. Инфляция негативно сказывается на текущем выпуске фирмы.
в) В первом случае в результате полной гибкости цен монополист независимо назначает выпуск для каждого периода. Поэтому инфляция не влияет на реальные показатели (влияет только на номинальные). Нейтральность денег.
Во втором случае из-за номинальной жёсткости монополист в условиях инфляции не может поддерживать одинаковую реальную цену в двух периодах. Чем сильнее инфляция, тем сильнее отличаются реальные цены в двух периодах, и тем сильнее отличаются объёмы выпуска в двух периодах. В результате, инфляция влияет на реальные показатели.