Таксист Василий
Московский таксист Василий ежедневно выбирает себе количество рабочих часов . Почасовая ставка заработной платы Василия составляет рублей. Чем дольше рабочий день, тем сильнее устаёт таксист, поэтому издержки на работу в течение часов для него составляют . Выходя на работу, Василий рассчитывает заработать за день сумму рублей, которая является для него точкой отсчёта: он сильно расстраивается, если у него не получается заработать ожидаемую сумму за день. Таким образом, функция полезности Василия имеет
следующий вид:
Запишите в аналитическом виде функцию предложения труда Василия , то есть функцию, выражающую количество часов, которое будет работать в день таксист Василий, в зависимости от почасовой ставки заработной платы. Является ли эта функция неубывающей на всём множестве ?
При решении данной задачи можно дополнительно учитывать содержательное ограничение, не оговоренное в условии, что , а можно не учитывать. Стоит засчитывать оба варианта решения.
Вариант (не учтено ограничение )
Найдём оптимальное количество часов для каждого участка (в обоих случаях график функции имеет вид параболы с ветвями вниз).
При имеем , то есть при
( балла). При вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при на данном участке является ( балла).
При имеем , то есть при
( балла). При вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при на данном участке является ( балла).
Поскольку для обеих парабол имеет место соотношение
(вершина), функция предложения труда имеет следующий вид:
Эта функция не является неубывающей на всем множестве (убывает на ) ( балл).
Ответ: функция предложения труда имеет вид
,
она не является неубывающей на всем множестве (убывает на ).
Вариант 2 (учтено ограничение )
Найдём оптимальное количество часов для каждого участка (в обоих случаях график функции имеет вид параболы с ветвями вниз).
Первый участок.
При имеем , то есть при
. При вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при на данном участке является .
При вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при на данном участке является .
Нужно, чтобы
При не выполняется условие .
Второй участок.
При , имеем , то есть
При вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при на данном участке является .
Поскольку для обеих парабол имеет место соотношение
, а первый кусок отсутствует при , функция предложения труда имеет следующий вид:
Эта функция не является неубывающей на всем множестве (убывает на ).
Ответ: функция предложения труда имеет вид
Она не является неубывающей на всем множестве (убывает на).