Таксист Василий
Московский таксист Василий ежедневно выбирает себе количество рабочих часов h\geq 0. Почасовая ставка заработной платы Василия составляет w рублей. Чем дольше рабочий день, тем сильнее устаёт таксист, поэтому издержки на работу в течение h часов для него составляют 2h^2. Выходя на работу, Василий рассчитывает заработать за день сумму 1600 рублей, которая является для него точкой отсчёта: он сильно расстраивается, если у него не получается заработать ожидаемую сумму за день. Таким образом, функция полезности Василия имеет
следующий вид:
U(h) = \begin{cases} wh - 1600 - 2h^2, & \text{если}\ wh \geq 1600 \\ 2{,}25 \cdot (wh - 1600) - 2h^2, & \text{если}\ wh < 1600 \end{cases}
Запишите в аналитическом виде функцию предложения труда Василия h^*(w), то есть функцию, выражающую количество часов, которое будет работать в день таксист Василий, в зависимости от почасовой ставки заработной платы. Является ли эта функция неубывающей на всём множестве h\geq 0 ?
При решении данной задачи можно дополнительно учитывать содержательное ограничение, не оговоренное в условии, что h\leq 24, а можно не учитывать. Стоит засчитывать оба варианта решения.
Вариант 1 (не учтено ограничение h\leq24 )
Найдём оптимальное количество часов h^* для каждого участка (в обоих случаях график функции имеет вид параболы с ветвями вниз).
При h\geq 1600/w имеем U(h)=wh-1600-2h^2, то есть h^*=w/4 при
\frac{w}{4} \geq \frac{1600}{w} \iff w \geq 80 ( 3 балла). При w<80 вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при w<80 на данном участке является h^*=1600/w ( 2 балла).
При h<1600/w имеем U(h)=2,25wh-3600-2h^2, то есть h^*=2,25w/4 при
\frac{2{,}25w}{4} < \frac{1600}{w} \iff w < \frac{160}{3} ( 3 балла). При w\geq160/3 вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при w\geq160/3 на данном участке является h^*=1600/w ( 2 балла).
Поскольку для обеих парабол имеет место соотношение
U\left( \frac{1600}{w} \right) \leq U (вершина), функция предложения труда имеет следующий вид:
h^*(w) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2,25w}{4}, & \text{при } 0 \leq w < \frac{160}{3} \\ \frac{1600}{w}, & \text{при } w \in \left[ \frac{160}{3}, 80 \right) \\ \frac{w}{4}, & \text{при } w \geq 80 \end{array} \right.
Эта функция не является неубывающей на всем множестве h\geq0 (убывает на w \in \left( \frac{160}{3}, 80 \right)) ( 1 балл).
Ответ: функция предложения труда имеет вид
h^*(w) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2,25w}{4}, & \text{при } 0 \leq w < \frac{160}{3} \\ \frac{1600}{w}, & \text{при } w \in \left[ \frac{160}{3}, 80 \right) \\ \frac{w}{4}, & \text{при } w \geq 80 \end{array} \right.,
она не является неубывающей на всем множестве h\geq0 (убывает на w \in \left( \frac{160}{3}, 80 \right)).
Вариант 2 (учтено ограничение h\leq24 )
Найдём оптимальное количество часов h^* для каждого участка (в обоих случаях график функции имеет вид параболы с ветвями вниз).
Первый участок.
При 24\geq h\geq1600/w имеем U(h)=wh-1600-2h^2, то есть h^*=w/4 при
24 \geq \frac{w}{4} \geq \frac{1600}{w} \leftrightarrow 96 \geq w \geq 80. При w>96 вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при w>96 на данном участке является h^*=24.
При w<80 вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при w<80 на данном участке является h^*=1600/w.
Нужно, чтобы \frac{1600}{w} \leq 24 \leftrightarrow w \geq \frac{200}{3}.
При w<200/3 не выполняется условие 24>h.
Второй участок.
При h<1600/w, h\leq24 имеем U(h)=2,25wh-3600-2h^2, то есть
h^* = \frac{2,25w}{4}, \, при \, \frac{2,25w}{4} \leq \frac{1600}{w}, \, \frac{2,25w}{4} \leq 24 \leftrightarrow w \leq \frac{128}{3}.
h^* = 24, \, если \, 24 < \frac{1600}{w}, \, \frac{2,25w}{4} > 24 \leftrightarrow w \in \left[ \frac{128}{3}, \frac{200}{3} \right].
При w\geq200/3 вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при w\geq200/3 на данном участке является h^*=1600/w.
Поскольку для обеих парабол имеет место соотношение
U(1600/w)\leq U_{(вершина)}, а первый кусок отсутствует при w\leq200/3, функция предложения труда имеет следующий вид:
h^*(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \, при \, 0 \leq w \leq \frac{128}{3} \\ 24, \, при \, \frac{128}{3} < w \leq \frac{200}{3} \\ \frac{1600}{w}, \, при \, w \in \left( \frac{200}{3}; 80 \right] \\ \frac{w}{4}, \, при \, (80; 96] \\ 24, \, при \, w > 96 \end{cases}
Эта функция не является неубывающей на всем множестве h\geq 0 (убывает на w \in \left( \frac{200}{3}; 80 \right) ).
Ответ: функция предложения труда имеет вид
h^*(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \, при \, 0 \leq w \leq \frac{128}{3} \\ 24, \, при \, \frac{128}{3} < w \leq \frac{200}{3} \\ \frac{1600}{w}, \, при \, w \in \left( \frac{200}{3}; 80 \right] \\ \frac{w}{4}, \, при \, (80; 96] \\ 24, \, при \, w > 96 \end{cases}
Она не является неубывающей на всем множестве h\geq0 (убывает наw \in \left( \frac{200}{3}; 80 \right)).