Задача 4 ОЧ-2015 (11 класс)
В 1950-е годы экономисты обнаружили положительную взаимосвязь между уровнем инфляции и отклонением фактического совокупного выпуска от потенциального. Эту зависимость стали впоследствии называть кривой Филлипса^1 :
\pi - \pi^e = b \ast (Y - Y^*)
где \pi – фактический уровень инфляции; \pi^e – ожидаемый уровень инфляции; Y –фактический совокупный выпуск; Y^* – потенциальный совокупный выпуск; b – положительный параметр.
В экономике некоторой страны A есть Центральный Банк. Часто для описания предпочтений Центрального Банка вводят функцию потерь L, которую Центральный Банк минимизирует. Глава ЦБ не любит инфляцию, но любит, когда в стране экономический подъем (фактический ВВП превышает потенциальный):
L = \alpha (\pi - \pi^*)^2 - (Y - Y^*)
где \pi^* – целевой уровень инфляции, который Центральный Банк считает наиболее благоприятным для экономики (постоянный параметр в рамках этой задачи); \alpha – положительный параметр.
Будем предполагать, что гипотеза рациональных ожиданий верна, т.е. в равновесии ожидаемая инфляция равна фактической.
Взаимодействие между экономическими агентами и Центральным Банком происходит следующим образом:
1) Сначала экономические агенты формируют свои ожидания (\pi^e), минимизируя следующую функцию потерь: (\pi-\pi^e)^2.
2) После этого Центральный Банк узнает выбранный уровень ожиданий и выбирает уровень инфляции \pi.
Предполагается, что Центральный Банк может непосредственно выбирать уровень инфляции и совокупного выпуска, которые ему необходимы. Также предполагается, что единственное ограничение, при котором Центральный Банк минимизирует свою функцию потерь, − это кривая Филлипса.
Вопросы:
1. Изобразите кривую Филлипса в координатах (Y;\pi), предполагая, что \pi^e=\pi^*. Отметьте точку (Y^*;\pi^*). Нарисуйте кривую безразличия Центрального Банка, (т.е. все комбинации (Y;\pi), при которых L принимает фиксированное значение), проходящую через точку (Y^*;\pi^*) ). Чему равно значение функции потерь (L^*) в этом случае?
2. Предполагая, что ожидания не меняются (\pi^e=\pi^*), определите, выгодно ли будет Центральному Банку такое состояние экономики, в котором значения совокупного выпуска и инфляции составят (Y^*;\pi^*) ? Может ли он уменьшить свои потери при таких ожиданиях? Рассчитайте уровень инфляции и выпуска, которые выберет Центральный Банк. (Подсказка: посмотрите на график, который вы построили в предыдущем пункте. Подумайте, в каком направлении уменьшается значение функции потерь, попробуйте построить различные кривые безразличия).
3. Теперь вспомните, что по условию задачи экономические агенты формируют рациональные ожидания, т.е. в равновесии фактический уровень инфляции должен быть равен ожидаемому. Изобразите кривую Филлипса, для которой это условие выполнено. Какое равновесие установится в экономике? Возможна ли ситуация, в которой Центральному Банку лучше, а остальным экономическим агентам не хуже?
Рассмотренный в этой задаче cюжет в экономической литературе получил название проблемы временной несогласованности монетарной политики.
^1 Вероятно, если вы ранее сталкивались с кривой Филлипса, то вы рассматривали отрицательную взаимосвязь инфляции и безработицы. Однако несложно понять, например, в силу закона Оукэна, что это эквивалентно положительной взаимосвязи инфляции и отклонения выпуска от потенциального.
1.
2. Если \pi^e=\pi^*, то ограничение для Центрального Банка – кривая Филлипса PC_1. Т.к. L = \alpha (\pi - \pi^*)^2 - (Y - Y^*), то при росте Y, значение функции потерь ЦБ снижается, поэтому чем правее расположена кривая безраличия, тем лучше для ЦБ. Поэтому при ограничении PC_1 равновесие установится в точке B.
3. Равновесие должно установится в точке C : выпуск находится на уровне потенциального, а кривая Филлипса и кривая безразличия ЦБ касаются в этой точке.
В равновесии выпуск находится на уровне потенциального: это следует из кривой Филлипса \pi=\pi^e, поэтому Y=Y^*.
Кривая Филлипса и кривая безраличия ЦБ касаются, поэтому ЦБ невыгодно отклонятся и это равновесие.
Теперь найдем точки B и C :
Точка B :
L = \alpha (\pi - \pi^*)^2 - (Y - Y^*) \rightarrow \min
при \pi-\pi^*=b*(Y-Y^*) (мы воспользовались тем, что \pi^e=\pi^* ).
Решая эту задачу (можно просто подставить ограничение в целевую функцию), получаем, что Y_B = Y^* + \frac{1}{2 \alpha b^2}; \quad \pi_B = \pi^* + \frac{1}{2 \alpha b}. Значение функции потерь составит: L_B = -\frac{1}{4 \alpha b^2}. Поэтому Центральный Банк улучшил свое положение, уменьшив функцию потерь.
Точка C :
Как мы показали выше, кривая безразличия и кривая Филлипса должны касаться в этой точке, а Y=Y^*.
Наклон кривой Филлипса: Y_{\pi}' = \frac{1}{b} ; Наклон кривой безразличия: Y_{\pi}' = 2\alpha(\pi-\pi^*).
Приравнивая наклоны, получаем условие для точки C : \pi_C = \pi^* + \frac{1}{2 \alpha b} \cdot Y_C = Y^*. L_C = \frac{1}{4 \alpha b^2}.