Лидер и аутсайдеры
На рынке ауры спрос задаётся функцией Q_d=1-P, где P – цена на рынке. Ауру производят 3 фирмы— 1 лидер и 2 аутсайдера. Фирмы знают всю информацию друг о друге (т.е. на рынке олигополия). Взаимодействие происходит таким образом, что сначала лидер называет свой объем производства, затем две оставшиеся фирмы(аутсайдеры) одновременно называют свой объем производства. Издержки у каждой фирмы одинаковы и задаются функцией TC=Q^2.
а) Найдите равновесные объемы производства, цену и прибыль каждой фирмы.
а) Запишем функцию прибыли для аутсайдеров.
\pi_2 = (1 - q_1 - q_2 - q_3)q_2 - q_2^2.
Относительно q_2 ЭПВВн. Значит:
q_2^{\ast} = \frac{1 - q_1 - q_3}{4} \quad (1)
Аналогично мы получаем:
q_3^{\ast} = \frac{1 - q_1 - q_2}{4} \quad (2)
Решая систему из 1 и 2 уравнения мы получаем, что:
q_2^{\ast} = q_3^{\ast} = 0.2(1 - q_1).
Функция прибыли лидера:
\pi_1 = (1 - q_1 - q_2 - q_3)q_1 - q_1^2 = 0.6(1 - q_1)q_1 - q_1^2.
Относительно q_1 ЭПВВн. Значит
q_1^{\ast} = \frac{0.6}{3.2} = 0.1875.
Подставим значения и получим, что:
q_2^{\ast} = q_3^{\ast} = 0.1625,
P = 0.4875,
\pi_1^{\ast} = 0.05625,
\pi_2^{\ast} = \pi_3^{\ast} = 0.0528125.
б) Государство обеспокоились тем, что фирма лидер обладает большей властью и ввела на неё (на аутсайдеров налог не накладывается) потоварный налог по ставке t, чтобы фирмы стали производить одинаковый объем товара. Найдите значение t.
б) Запишем функцию прибыли по товарным налогом фирмы лидера:
\pi_1 = (1 - t - q_1 - q_2 - q_3)q_1 - q_1^2 = \bigl(0.6(1 - q_1) - t\bigr)q_1 - q_1^2.
Относительно q_1 ЭПВВн. Значит:
q_1^{\ast} = \frac{0.6 - t}{3.2}.
Т.к. мы хотим, чтобы фирмы имели одинаковый объем производства, то:
q_1 = q_2 = q_3 = 0.2(1 - q_1).
q_1 = 0.2(1 - q_1),
q_1 = \frac{1}{6}
\frac{0.6 - t}{3.2} = \frac{1}{6},
t = \frac{1}{15}.
в) Теперь государство хочет максимизировать налоговые сборы, вводя потоварный налог по ставке t_2 на все фирмы. Найдите значение t_2.
в) Государство вводит потоварный налог t_2 на все три фирмы, чтобы максимизировать налоговые сборы T=t_2*Q, где Q=q_1+q_2+q_3.
Найдём, как аутсайдеры реагируют на выбор лидера при налоге t_2.
У аутсайдера прибыль \pi_2 = P \cdot q_2 - q_2^2 - t_2 q_2, где цена P=1(q_1+q_2+q_3).
Максимизируем \pi_2 по q_2, считая q_1 и q_3 заданными.
Производная:
\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 1 - q_1 - q_3 - 4q_2 - t_2 = 0.
В силу симметрии аутсайдеров q_2=q_3=q_a. Подставляем:
1 - q_1 - q_a - 4q_a - t_2 = 0 => 1 - q_1 - t_2 = 5q_a =>q_a = \frac{1 - q_1 - t_2}{5}.
Теперь задача лидера, который тоже платит налог t_2. Его прибыль:
\pi_1 = [1 - (q_1 + 2q_a)]q_1 - q_1^2 - t_2 q_1.
Подставляем выражение для q_a :
Q = q_1 + 2q_a = q_1 + \frac{2(1 - q_1 - t_2)}{5} = \frac{2 - 2t_2 + 3q_1}{5}.
Цена P = 1 - Q = \frac{3 + 2t_2 - 3q_1}{5}.
Тогда \pi_1 = \frac{3 + 2t_2 - 3q_1}{5} q_1 - q_1^2 - t_2 q_1.
Упрощаем:
\pi_1 = \frac{3q_1 - 8q_1^2 - 3t_2 q_1}{5}.
Максимизируем по q_1 :
\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = \frac{3 - 16q_1 - 3t_2}{5} = 0 => 3 - 16q_1 - 3t_2 = 0 => q_1 = \frac{3 - 3t_2}{16}.
Теперь q_a = \frac{1 - q_1 - t_2}{5} = \frac{1 - \frac{3 - 3t_2}{16} - t_2}{5}.
Приводим к общему знаменателю 16 в числителе:
Числитель: \frac{16 - 3 + 3t_2 - 16t_2}{16} = \frac{13 - 13t_2}{16},
тогда q_a = \frac{13 - 13t_2}{80} = \frac{13(1 - t_2)}{80}.
Общий выпуск Q = q_1 + 2q_a = \frac{3 - 3t_2}{16} + \frac{26(1 - t_2)}{80}.
Приводим к общему знаменателю 80 :
q_1 = \frac{15(1 - t_2)}{80}, \qquad 2q_a = \frac{26(1 - t_2)}{80},
сумма: Q = \frac{15(1 - t_2) + 26(1 - t_2)}{80} = \frac{41(1 - t_2)}{80}.
Налоговые сборы:
T = t_2 \cdot Q = t_2 \cdot \frac{41(1 - t_2)}{80} = \frac{41}{80}(t_2 - t_2^2).
Это парабола, ветви вниз, максимум в вершине:
t_2 = \frac{1}{2}.
(все оптимумы можно находить как вершину параболы ветвями вниз)