Лидер и аутсайдеры
На рынке ауры спрос задаётся функцией , где – цена на рынке. Ауру производят фирмы— лидер и аутсайдера. Фирмы знают всю информацию друг о друге (т.е. на рынке олигополия). Взаимодействие происходит таким образом, что сначала лидер называет свой объем производства, затем две оставшиеся фирмы(аутсайдеры) одновременно называют свой объем производства. Издержки у каждой фирмы одинаковы и задаются функцией .
а) Найдите равновесные объемы производства, цену и прибыль каждой фирмы.
Ответ
а) Запишем функцию прибыли для аутсайдеров.
Относительно ЭПВВн. Значит:
Аналогично мы получаем:
Решая систему из и уравнения мы получаем, что:
Функция прибыли лидера:
Относительно ЭПВВн. Значит
Подставим значения и получим, что:
б) Государство обеспокоились тем, что фирма лидер обладает большей властью и ввела на неё (на аутсайдеров налог не накладывается) потоварный налог по ставке , чтобы фирмы стали производить одинаковый объем товара. Найдите значение .
Ответ
б) Запишем функцию прибыли по товарным налогом фирмы лидера:
Относительно ЭПВВн. Значит:
Т.к. мы хотим, чтобы фирмы имели одинаковый объем производства, то:
в) Теперь государство хочет максимизировать налоговые сборы, вводя потоварный налог по ставке на все фирмы. Найдите значение .
Ответ
в) Государство вводит потоварный налог на все три фирмы, чтобы максимизировать налоговые сборы , где .
Найдём, как аутсайдеры реагируют на выбор лидера при налоге .
У аутсайдера прибыль где цена .
Максимизируем по , считая и заданными.
Производная:
В силу симметрии аутсайдеров . Подставляем:
Теперь задача лидера, который тоже платит налог . Его прибыль:
Подставляем выражение для :
.
Цена
Тогда
Упрощаем:
Максимизируем по :
Теперь .
Приводим к общему знаменателю в числителе:
Числитель: ,
тогда .
Общий выпуск .
Приводим к общему знаменателю :
,
сумма: .
Налоговые сборы:
.
Это парабола, ветви вниз, максимум в вершине:
.
(все оптимумы можно находить как вершину параболы ветвями вниз)