Налог в модели межвременного выбора
Рассмотрите индивида, планирующего свою жизнь на два периода вперёд. В первом периоде доход индивида составит 120 д. е., во втором периоде — 210 д. е. Ставка процента постоянна и равна 25\% — по этой ставке можно взять кредит или открыть депозит. В конце второго периода индивид не желает иметь ни долгов, ни накоплений.
1. Пусть предпочтения индивида устроены таким образом, что в оптимуме ему хотелось бы иметь одинаковое потребление в периодах 1 и 2 (в таких случаях говорят про сглаживание потребления). Это можно формализовать, например, так: если в периодах 1 и 2 объёмы потребления составят C_1 и C_2, то его суммарное удовольствие от потребления в двух периодах будет определяться как u=min\{C_1;C_2\}. Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
2. Предположим, что государство вводит налог на потребление в первом периоде по ставке t*100\%. Это значит, что если индивид желает в первом периоде иметь потребление на уровне C_1, то он должен будет потратить не C_1, как прежде, а больше, а именно величину C_1/(1-t), из которой доля t будет уплачена в качестве налога. Пусть государство хочет собрать с данного индивида в виде налогов сумму 90 д. е. По какой ставке нужно ввести налог? Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
3. Пусть теперь предпочтения индивида устроены иначе: если в периодах 1 и 2 объёмы потребления составят C_1 и C_2, то его удовольствие будет определяться как u=C_1C_2. Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
4. Предположим теперь, что государство вводит в точности такой же налог, какой в пункте 2, и так же хочет собрать с данного индивида в виде налогов сумму 90 д. е. По какой ставке нужно ввести налог? Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
1. Оптимум определяется решением системы уравнений 1,25*120+210=1,25C_1+C_2 и C_1=C_2. Решив линейную систему, получим C_1=C_2=160, т. е. индивид в первом периоде берёт кредит в размере C_1-y_1=40.
2. Оптимум определяется решением системы уравнений 1.25 \cdot + 210 = 1.25 \frac{C_1}{1 - t} + C_2 и C_1=C_2. Решив линейную систему, получим C_1 = C_2 = \frac{360(1 - t)}{2.25 - t}. Значит, налоговые сборы составят T = \frac{tC_1}{1 - t} = \frac{t}{1 - t} \cdot \frac{360(1 - t)}{2.25 - t} = \frac{360t}{2.25 - t} = 90.
По условию сборы должны равняться 90. Решив последнее уравнение, получим t=0,45, т.е. налог будет введён по ставке 45\%. Значит, C_1=C_2=110. В первом периоде индивид потребляет 110 и уплачивает налоги на сумму 90, значит, он берёт кредит в размере C_1+T-y_1=80.
3. Индивид решает задачу: u = C_1C_2 = C_1(360 - 1.25C_1) \to \max_{C_1}. Квадратная парабола с ветвями вниз, максимум достигается в точке C_1=144, тогда C_2=180. Значит, индивид в первом периоде берёт кредит в размере C_1-y_1=24.
4. Индивид решает задачу: u = C_1 C_2 = C_1 \left( 360 - 1.25 \frac{C_1}{1 - t} \right) \to \max_{C_1}. Квадратная парабола с ветвями вниз, максимум достигается в точке C_1=144(1-t). Значит, налоговые сборы составят T = \frac{tC_1}{1-t} = \frac{t}{1-t} \cdot 144(1-t) = 144t = 90. По условию сборы должны равняться 90. Решив последнее уравнение, получим t=0,625, т.е. налог будет введён по ставке 62,5\%. Значит, потребление составит C_1=54 и C_2=180. В первом периоде индивид потребляет 54 и уплачивает налоги на сумму 90, значит, он берёт кредит в размере C_1+T-y_1=24.