Налог в модели межвременного выбора
Рассмотрите индивида, планирующего свою жизнь на два периода вперёд. В первом периоде доход индивида составит д. е., во втором периоде — д. е. Ставка процента постоянна и равна — по этой ставке можно взять кредит или открыть депозит. В конце второго периода индивид не желает иметь ни долгов, ни накоплений.
Пусть предпочтения индивида устроены таким образом, что в оптимуме ему хотелось бы иметь одинаковое потребление в периодах и (в таких случаях говорят про сглаживание потребления). Это можно формализовать, например, так: если в периодах и объёмы потребления составят и , то его суммарное удовольствие от потребления в двух периодах будет определяться как . Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
Предположим, что государство вводит налог на потребление в первом периоде по ставке . Это значит, что если индивид желает в первом периоде иметь потребление на уровне , то он должен будет потратить не , как прежде, а больше, а именно величину , из которой доля будет уплачена в качестве налога. Пусть государство хочет собрать с данного индивида в виде налогов сумму д. е. По какой ставке нужно ввести налог? Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
Пусть теперь предпочтения индивида устроены иначе: если в периодах и объёмы потребления составят и , то его удовольствие будет определяться как . Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
Предположим теперь, что государство вводит в точности такой же налог, какой в пункте , и так же хочет собрать с данного индивида в виде налогов сумму д. е. По какой ставке нужно ввести налог? Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
Ответ
Оптимум определяется решением системы уравнений и . Решив линейную систему, получим , т. е. индивид в первом периоде берёт кредит в размере .
Оптимум определяется решением системы уравнений и . Решив линейную систему, получим . Значит, налоговые сборы составят
По условию сборы должны равняться . Решив последнее уравнение, получим , т.е. налог будет введён по ставке . Значит, . В первом периоде индивид потребляет и уплачивает налоги на сумму , значит, он берёт кредит в размере .
Индивид решает задачу: . Квадратная парабола с ветвями вниз, максимум достигается в точке , тогда . Значит, индивид в первом периоде берёт кредит в размере .
Индивид решает задачу: Квадратная парабола с ветвями вниз, максимум достигается в точке . Значит, налоговые сборы составят По условию сборы должны равняться . Решив последнее уравнение, получим , т.е. налог будет введён по ставке . Значит, потребление составит и . В первом периоде индивид потребляет и уплачивает налоги на сумму , значит, он берёт кредит в размере .