Спрос будет задаваться кусочно-линейной функцией:

Q = \begin{cases} 48 - 4p, & p \in [0, 8] \\ 32 - 2p, & p \in [8, 16] \end{cases} ( 2 балла).

Тогда обратное уравнение спроса: P = \begin{cases} 16 - \frac{Q}{2}, & Q \in [0, 16] \\ 12 - \frac{Q}{4}, & Q \in [16, 48] \end{cases} ( 2 балла).

Общие издержки фирмы, согласно условию, задаются уравнением TC=6Q

( 1 балл).

Тогда прибыль фирмы устроена следующим образом:

\pi = \begin{cases} Q(16 - \frac{Q}{2}) - 6Q, & Q \in [0, 16] \\ Q(12 - \frac{Q}{4}) - Q, & Q \in [16, 48] \end{cases} ( 1 балл).

Максимум функции на отрезке [0,16] достигается в вершине: Q=10 и равняется 50 ( 2 балла).

Максимум функции на отрезке [16,48] достигается на границе отрезка: Q=12, значение не принадлежит выбранному отрезку ( 2 балла).

Таким образом, фирма будет производить 10 единиц по цене 11, а спрос на продукцию фирмы будет предъявлять только вторая группа потребителей.

Можно решать задачу, используя обратную функцию спроса.

Тогда функция прибыли от цены имеет вид:

\pi(p) = \begin{cases} (48 - 4p)(p - 6), & p \in [0, 8] \\ (32 - 2p)(p - 6), & p \in [8, 16] \end{cases} ( 5 баллов).

Каждый участок функции прибыли - парабола с ветвями вниз, вершина первой параболы в точке p=8, вершина второй параболы в точке p=11 (обе координаты принадлежат соответствующим участкам). Поскольку прибыль

в точке (8,32) лежит и на второй части тоже, можно заключить, что p=11 максимизирует прибыль. Поскольку это участок с высокими ценами, продукцию будут покупать только потребители из второй группы ( 5 баллов).

Ответ:

Будет произведено 10 единиц товара по цене 11 ; только вторая группа потребителей будет покупать у фирмы.