Сильная и независимая женщина
У Зои есть две радости в жизни: обнимашки и сладости. Также она иногда работает и получает доход в размере 50000 у.е., который может потратить в своё удовольствие. Если она обнимается, но не ест сладкого, её удовольствие описывается функцией:
U(h) = -5000 + 65h - 3\sqrt{h} + 2h^2
Если она поедает сладости в одиночестве, функция её удовольствия выглядит иначе:
U(s) = -12000 + 2160s - 18s^2
Совмещать сладости и обнимашки она тоже любит, но только в определённой пропорции – за каждые два часа обнимашек ей надо съесть 3 кг конфет, тогда каждый час будет приносить ей 1500 единиц удовольствия. Также во время обнимашек нужно поддерживать минимальную жизнедеятельность, на что уходит 500 у.е. в час. У источника обнимашек есть свои запасы конфет, из которых он готов отдавать Зое по полкило в час. Этих запасов хватит на первые 40 часов. В магазине конфеты стоят 750 у.е. за килограмм, но для оптовых покупателей цены другие – при покупке более 50 кг за раз килограмм конфет обходится всего лишь в 500 у.е.
Каждую сэкономленную 1 у.е. Зоя оценивает в 1 единицу удовольствия.
а) ( 5 баллов) Выпишите функцию удовольствия Зои от совмещения сладостей и обнимашек.
б) ( 15 баллов) Постройте график бюджетного ограничения Зои (линию, показывающую, какие наборы товаров может заполучить Зоя на её доход, полностью расходуя его).
в) ( 10 баллов) Найдите и объясните оптимальное распределение её дохода между сладким, обнимашками и сэкономленными деньгами, при котором она получит максимальное удовольствие. Не забудьте указать как распределение, так и величину удовольствия.
а) Функция удовольствия Зои от совмещения сладостей и обнимашек:
U(h, s) = 1500 \times \min\left(h, \frac{2}{3}s\right)
Если в решении полезность от денег добавлена в функции удовольствия, то она принимает вид (с учетом акции и бонусов):
U(h; s) = \begin{cases} 1500 \times \min(h; \frac{2}{3}s) + 50000 - 125h - 750s, & s < 50, h < 40 \\ 1500 \times \min(h; \frac{2}{3}s) + 50000 - 250h - 500s, & h < 40, s - \frac{h}{2} > 50 \\ 1500 \times \min(h; \frac{2}{3}s) + 50000 - 500h - 500(s - 20), & h > 40, s > 70 \end{cases}
Критерии оценивания:
Использование функции min() – 3 балла
Верные коэффициенты при h и s – 2 балла
Критерии:
Верный график – 15 баллов.
Не учтены бонусные +20 конфет в верхней части графика – 9 баллов
Вообще не учтены бонусные конфеты от обнимашек – 3 балла
График отражает не максимально возможные комбинации – 3 балла
Неверные точки разрыва – 1 балл
Прямая линия бюджетного ограничения – 0 баллов
в) Необходимо сравнить три точки, в которых U(h)=max,h\in[0;100], U(s)=max, s\in[0;100],U(s;h)=max , с учетом бюджетного ограничения.
Функция U(h) на участке [0;100] монотонно возрастает по h, следовательно, функция достигает своего максимума в точке h=100 .
U(h = 100) = -5000 + 6500 - 3 \times 10 + 2 \times 10000 = 21470
Функция U(s) – парабола с ветвями вниз, следовательно, максимум будет достигаться в вершине.
U'(s) = 2160 - 18 \times 2s = 0 \\ s = 60 \\ U(s = 60) = -12000 + 2160 \times 60 - 18 \times 60^2 = 52800
Более того, Зоя сберегает 20000 у.е., что суммарно приносит ей 72800 единиц удовольствия.
Максимальная доступная Зое точка, где соблюдена нужная пропорция конфет к обнимашкам при совместном потреблении -
(s = 72, h = 48), U = \min \left( 48; \frac{2 \times 72}{3} \right) \times 1500 = 72000.
Таким образом получается, что выгодней всего сильной и независимой Зое поедать конфеты в одиночестве и сберегать оставшиеся деньги.
Если в решении удовольствие от сбережений было дополнительно введено в функции удовольствия, принцип решения остается тем же, но с другими значениями:
Функция U(h) на участке [0;100] монотонно возрастает по h, следовательно, функция достигает своего максимума в точке h=100 .
U(h = 100) = -5000 + 6500 - 3 \times 10 + 2 \times 10000 = 21470
Функцию удовольствия от конфет нужно рассматривать на двух участках, так как меняется цена. На каждом из участков найти максимум и сравнить между собой
U(s) = -12000 + 2160 \times s - 18 \times s^2 + 50000 - 750s, s < 50 \\ U'(s) = 2160 - 36s - 750 \Rightarrow s = \frac{235}{6} \\ U \left( s = \frac{235}{6} \right) = 65612.5 \\ U(s) = -12000 + 2160s - 18 \times s^2 + 50000 - 500s, s \geq 50 \\ U'(s) = 2160 - 36s - 500 \Rightarrow s = \frac{415}{9} < 50 \\ U(s = 50) = -12000 + 2160 \cdot 50 - 18 \cdot 50^2 + 50000 - 500 \cdot 50 = 76000
Максимальное удовольствие от потребления в комплекте так же будет равно 72000. Таким образом, верный ответ – покупать 50 кг конфет по цене 500 и сберегать оставшиеся деньги.
Критерии (вне зависимости от изменений в функциях удовольствия):
Каждая найденная верно точка для сравнения +1 балл
Каждый верный уровень удовольствия в точке +2 балла
Верный ответ +1 балл.