а) Функция удовольствия Зои от совмещения сладостей и обнимашек:

U(h, s) = 1500 \times \min\left(h, \frac{2}{3}s\right)

Если в решении полезность от денег добавлена в функции удовольствия, то она принимает вид (с учетом акции и бонусов):

U(h; s) = \begin{cases} 1500 \times \min(h; \frac{2}{3}s) + 50000 - 125h - 750s, & s < 50, h < 40 \\ 1500 \times \min(h; \frac{2}{3}s) + 50000 - 250h - 500s, & h < 40, s - \frac{h}{2} > 50 \\ 1500 \times \min(h; \frac{2}{3}s) + 50000 - 500h - 500(s - 20), & h > 40, s > 70 \end{cases}

Критерии оценивания:

Использование функции min() – 3 балла

Верные коэффициенты при h и s – 2 балла

Критерии:

Верный график – 15 баллов.

Не учтены бонусные +20 конфет в верхней части графика – 9 баллов

Вообще не учтены бонусные конфеты от обнимашек – 3 балла

График отражает не максимально возможные комбинации – 3 балла

Неверные точки разрыва – 1 балл

Прямая линия бюджетного ограничения – 0 баллов

в) Необходимо сравнить три точки, в которых U(h)=max,h\in[0;100], U(s)=max, s\in[0;100],U(s;h)=max , с учетом бюджетного ограничения.

Функция U(h) на участке [0;100] монотонно возрастает по h, следовательно, функция достигает своего максимума в точке h=100 .

U(h = 100) = -5000 + 6500 - 3 \times 10 + 2 \times 10000 = 21470

Функция U(s) – парабола с ветвями вниз, следовательно, максимум будет достигаться в вершине.

U'(s) = 2160 - 18 \times 2s = 0 \\ s = 60 \\ U(s = 60) = -12000 + 2160 \times 60 - 18 \times 60^2 = 52800

Более того, Зоя сберегает 20000 у.е., что суммарно приносит ей 72800 единиц удовольствия.

Максимальная доступная Зое точка, где соблюдена нужная пропорция конфет к обнимашкам при совместном потреблении -

(s = 72, h = 48), U = \min \left( 48; \frac{2 \times 72}{3} \right) \times 1500 = 72000.

Таким образом получается, что выгодней всего сильной и независимой Зое поедать конфеты в одиночестве и сберегать оставшиеся деньги.

Если в решении удовольствие от сбережений было дополнительно введено в функции удовольствия, принцип решения остается тем же, но с другими значениями:

Функция U(h) на участке [0;100] монотонно возрастает по h, следовательно, функция достигает своего максимума в точке h=100 .

U(h = 100) = -5000 + 6500 - 3 \times 10 + 2 \times 10000 = 21470

Функцию удовольствия от конфет нужно рассматривать на двух участках, так как меняется цена. На каждом из участков найти максимум и сравнить между собой

U(s) = -12000 + 2160 \times s - 18 \times s^2 + 50000 - 750s, s < 50 \\ U'(s) = 2160 - 36s - 750 \Rightarrow s = \frac{235}{6} \\ U \left( s = \frac{235}{6} \right) = 65612.5 \\ U(s) = -12000 + 2160s - 18 \times s^2 + 50000 - 500s, s \geq 50 \\ U'(s) = 2160 - 36s - 500 \Rightarrow s = \frac{415}{9} < 50 \\ U(s = 50) = -12000 + 2160 \cdot 50 - 18 \cdot 50^2 + 50000 - 500 \cdot 50 = 76000

Максимальное удовольствие от потребления в комплекте так же будет равно 72000. Таким образом, верный ответ – покупать 50 кг конфет по цене 500 и сберегать оставшиеся деньги.

Критерии (вне зависимости от изменений в функциях удовольствия):

Каждая найденная верно точка для сравнения +1 балл

Каждый верный уровень удовольствия в точке +2 балла

Верный ответ +1 балл.