Как известно, альтернативная стоимость производства единицы икса равна тому количеству единиц игрека, от которых нам придётся отказаться (дискретный случай).

В непрерывном же случае, когда мы имеем дело с функцией, удобнее воспользоваться производной. Действительно, производная функции в каждой конкретной точке показывает, как известно, скорость изменения значения функции при «маленьком» изменении аргумента.

Альтернативные издержки производства одной единицы товара x равны:

AC_x = -\frac{1}{xy} = -\frac{1}{xy}

Минус возникает в связи с тем, что принято говорить об альтернативной стоимости как о положительной величине.

(Рассмотрим пример КПВ с постоянной альтернативной стоимостью. КПВ будет иметь линейный вид, например, y=10–2x. Понятно, что равенство в терминах альтернативной стоимости выглядит так: 10 \cdot y=5 \cdot x или y=0,5 \cdot x – чтобы произвести один игрек, нужно отказаться от 0,5x. Этот же результат можно получить, используя производную: y'x=-2. Тогда альтернативная стоимость игрека: AC_y = \frac{1}{2} = 0.5 единиц икса).

1). Зная альтернативную стоимость икса, как функцию от игрек находим КПВ:

AC_x = -\frac{1}{xy} = \frac{1}{2y} = y' = -2y

Подбираем функцию, производная которой равна (-2y):

Получаем, что x=y^2+C, где С – некоторая константа.

За правильные расчёты - 4 балла

2). Т.к. точка (10;0) находится на КПВ, находим константу C:

10 = -0 + C \\ C = 10

Итак, уравнение КПВ в этой экономике выглядит так: x+y^2=10

За правильные расчёты - 2 балла

3) Жители страны потребляют товар икс и игрек в пропорции 1:\alpha. Следовательно, в равновесии должно выполняться соотношение: y=\alpha x.

Далее нужно, опираясь на целочисленность икса, игрека и альфы, подобрать равновесие.

Самое простое – перебором.

Т. к. x+y^2=10 и y – целое, то 0<y \leq 3 («Жители страны потребляют товар икс и игрек в пропорции 1: \alpha », поэтому y \neq 0 ).

Остается 3 варианта: (9;1),(6;2),(1;3). Подставляем их в y= \alpha x, получаем, что все целое только, если x=1;y=3.

За правильные расчёты - 4 балла

Ответ:

\alpha =3; 1:3