Железо, дерево и глина
В античном городе N в производстве различных товаров используются три вида ресурсов: Железо (A), Дерево (B) и Глина (C). Кривая, описывающая возможности города в добыче ресурсов, задается уравнением A^2 + B^2 + C^2 = 90000. Все производимые в городе товары можно разделить на две группы: Военные Товары (X) и Мирные Товары (Y). В среднем для производства единицы Мирных Товаров необходимы 1 единица Железа, 2 единицы Дерева и 2 единицы Глины. Для производства единицы Военных Товаров нужно 4 единицы Железа и 3 единицы Дерева, Глины не нужно вовсе.
Война с античным городом М не за горами, поэтому необходимо точно оценить потенциал города в производстве Военной и Мирной продукции. Выведите уравнение кривой производственных возможностей города N в координатах (X, Y) и постройте её график, указав максимально возможные объемы производства военных и мирных товаров.
Для производства X единиц Военной и Y единиц Мирной продукции нужно A = 4X + Y единиц Железа,B=3X+2Y единиц Дерева, C=2Y единиц Глины. Подставляя эти выражения в КПВ ресурсов, получаем:
(4X+Y)^2+(3X+2Y)^2+(2Y)^2=90000 или 25X^2+20XY+9Y^2=90000
Это и есть искомое уравнение КПВ. Решив это уравнение относительно Y, можно получить явную зависимость Y(X):
Y=\dfrac{\sqrt{810000−125X^2−10X}}{9}
(хотя делать это, в принципе, не обязательно).
КПВ будет иметь обычный вогнутый вид, X_{\max} = 60, Y_{\max} = 100.
Ответ: Уравнение кривой, описывающей возможности города в производстве военной и мирной продукции: Y=\frac{\sqrt{810000−125X^2−10X}}{9} . Максимально возможный объем производства военных товаров равен 60, мирных товаров – 100.