КПВ из выручки

Пусть вектор цен \vec{p} имеет координаты (p_x, p_y), а вектор объёмов производства \vec{q} = (x, y). Тогда совокупная выручка представляет собой скалярное произведение:

TR = \vec{p} \cdot \vec{q} = p_x x + p_y y.

Это выражение можно записать как:

TR = |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \cdot \cos \alpha, где \alpha — угол между векторами \vec{p} и \vec{q}.

Из условия следует, что при |\vec{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = 10 максимальная выручка составляет TR_{\text{max}} = 100. Подставим эти значения:

100 = 10 \cdot |\vec{q}| \cdot \cos \alpha.

Максимальная выручка для данной КПВ и заданного вектора цен \vec{p} достигается в точке, где \vec{q} сонаправлен с \vec{p} (т.е. \cos \alpha = 1 ), и лежит на границе множества производственных возможностей. Следовательно, для вектора цен с |\vec{p}| = 10 существует такой вектор производства \vec{q}^* на КПВ, что:

100 = 10 \cdot |\vec{q}^*| \cdot 1 \implies |\vec{q}^*| = 10.

Это означает, что для некоторых направлений вектора \vec{p} (а именно, для тех, где | \vec{p}|=10 ) оптимальная точка производства лежит на окружности радиуса 10.

Ключевое наблюдение: Поскольку КПВ выпукла, а альтернативная стоимость меняется от 0 до \infty, КПВ должна быть гладкой и «касаться» окружности x^2+y^2=100 во всех точках. Если бы это было не так, то для некоторых ценовых векторов с |\vec{p}| = 10 максимальная выручка была бы меньше 100, что противоречило бы условию.

Следовательно, граница области производственных возможностей задаётся уравнением: x^2+y^2=100.

Проверим выполнение условий задачи.

1. Альтернативная стоимость производства X  в точке (x, \ y) равна:

AC_x = |y'_x| = \left| -\frac{x}{\sqrt{100 - x^2}} \right| = \left| -\frac{x}{y} \right| = \frac{x}{y}.

При движении вдоль КПВ от точки (0, \ 10) к точке (10, \ 0) величина x/y монотонно возрастает от 0 до +\infty, что удовлетворяет условию.

2. В оптимуме наклон КПВ равен наклону линии бюджетного ограничения (линии постоянной выручки):

|y'_x| = \frac{p_x}{p_y} \implies \frac{x}{y} = \frac{p_x}{p_y}.

Отсюда y = \frac{p_y}{p_x}x. Подставим в уравнение КПВ:

x^2 + \left(\frac{p_y}{p_x}x\right)^2 = 100

x^2 \left(1 + \frac{p_y^2}{p_x^2}\right) = 100

x^2 \cdot \frac{p_x^2 + p_y^2}{p_x^2} = 100 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{10p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}.

Аналогично находим:

y = \frac{10p_y}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}

Рассчитаем максимальную выручку при произвольных ценах (p_x, p_y) :

TR_{\text{max}} = p_x x + p_y y = p_x \cdot \frac{10p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}} + p_y \cdot \frac{10p_y}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}} = 10\sqrt{p_x^2 + p_y^2}.

Согласно условию, на кривой p_y = \sqrt{100 - p_x^2} (или p_x^2 + p_y^2 = 100 ) выручка равна 100. Подставляя это тождество в формулу для TR_{\text{max}}, получаем:

TR_{\text{max}} = 10\sqrt{100} = 100,

что полностью соответствует условию.

Ответ: 

y = \sqrt{100 - x^2}.

Примечание: 

Данную задачу можно решить и другими способами, однако представленное векторное решение видится наиболее лаконичным и элегантным, так как оно напрямую использует геометрическую интерпретацию задачи и позволяет быстро прийти к верному ответу.