КПВ из выручки

Пусть вектор цен  имеет координаты , а вектор объёмов производства . Тогда совокупная выручка представляет собой скалярное произведение:

Это выражение можно записать как:

где  — угол между векторами  и .

Из условия следует, что при  максимальная выручка составляет . Подставим эти значения:

Максимальная выручка для данной КПВ и заданного вектора цен  достигается в точке, где  сонаправлен с  (т.е.  ), и лежит на границе множества производственных возможностей. Следовательно, для вектора цен с  существует такой вектор производства  на КПВ, что:

Это означает, что для некоторых направлений вектора  (а именно, для тех, где  ) оптимальная точка производства лежит на окружности радиуса .

Ключевое наблюдение: Поскольку КПВ выпукла, а альтернативная стоимость меняется от  до , КПВ должна быть гладкой и «касаться» окружности  во всех точках. Если бы это было не так, то для некоторых ценовых векторов с  максимальная выручка была бы меньше , что противоречило бы условию.

Следовательно, граница области производственных возможностей задаётся уравнением: .

Проверим выполнение условий задачи.

Альтернативная стоимость производства   в точке  равна:

При движении вдоль КПВ от точки  к точке  величина  монотонно возрастает от  до , что удовлетворяет условию.

В оптимуме наклон КПВ равен наклону линии бюджетного ограничения (линии постоянной выручки):

Отсюда . Подставим в уравнение КПВ:

Аналогично находим:

Рассчитаем максимальную выручку при произвольных ценах  :

.

Согласно условию, на кривой  (или  ) выручка равна . Подставляя это тождество в формулу для , получаем:

,

что полностью соответствует условию.

Ответ:

.

**Примечание: **

Данную задачу можно решить и другими способами, однако представленное векторное решение видится наиболее лаконичным и элегантным, так как оно напрямую использует геометрическую интерпретацию задачи и позволяет быстро прийти к верному ответу.