КПВ из выручки
Малая открытая экономика производит товары икс и игрек в соответствии с КПВ, характеризующейся возрастанием альтернативной стоимости (от до ). Экономика продает произведенную продукцию на мировой рынок по ценам . Известно, что на кривой стоимость всех произведенных иксов и игреков максимальна и равна . Найдите уравнение КПВ.
Ответ
Пусть вектор цен имеет координаты , а вектор объёмов производства . Тогда совокупная выручка представляет собой скалярное произведение:
Это выражение можно записать как:
где — угол между векторами и .
Из условия следует, что при максимальная выручка составляет . Подставим эти значения:
Максимальная выручка для данной КПВ и заданного вектора цен достигается в точке, где сонаправлен с (т.е. ), и лежит на границе множества производственных возможностей. Следовательно, для вектора цен с существует такой вектор производства на КПВ, что:
Это означает, что для некоторых направлений вектора (а именно, для тех, где ) оптимальная точка производства лежит на окружности радиуса .
Ключевое наблюдение: Поскольку КПВ выпукла, а альтернативная стоимость меняется от до , КПВ должна быть гладкой и «касаться» окружности во всех точках. Если бы это было не так, то для некоторых ценовых векторов с максимальная выручка была бы меньше , что противоречило бы условию.
Следовательно, граница области производственных возможностей задаётся уравнением: .
Проверим выполнение условий задачи.
Альтернативная стоимость производства в точке равна:
При движении вдоль КПВ от точки к точке величина монотонно возрастает от до , что удовлетворяет условию.
В оптимуме наклон КПВ равен наклону линии бюджетного ограничения (линии постоянной выручки):
Отсюда . Подставим в уравнение КПВ:
Аналогично находим:
Рассчитаем максимальную выручку при произвольных ценах :
.
Согласно условию, на кривой (или ) выручка равна . Подставляя это тождество в формулу для , получаем:
,
что полностью соответствует условию.
Ответ:
.
**Примечание: **
Данную задачу можно решить и другими способами, однако представленное векторное решение видится наиболее лаконичным и элегантным, так как оно напрямую использует геометрическую интерпретацию задачи и позволяет быстро прийти к верному ответу.