а) Количество счастливых семей равно потреблению риса.

C_{2017} = 80 \sqrt{3600} - I_{2017} \\ C_{2018} = \sqrt{I_{2017}}

(в последнем периоде нет смысла инвестировать, так как президента не волнует, что будет в 2019 году). Чтобы достичь своей цели, президенту следует максимизировать минимум из C_{2017}, C_{2018}. Для этого, нужно, чтобы указанные переменных были равны. Отсюда получаем уравнение:

80 \cdot 60 - I_{2017} = 80 \cdot \sqrt{I_{2017}}

Отсюда находим: I_{2017} = 1600, \ C_{2017} = C_{2018} = 3200.

Ответ: в 2017 году следует посадить 1600 тонн риса, а в 2018 году – ноль тонн. 3200 семей будут счастливы на протяжении этих двух лет, однако в 2019 году число счастливых семей окажется равным нулю.

б) Чтобы потребление семей вечно поддерживалось на постоянном уровне, необходимо, чтобы каждый год поддерживался один и тот же уровень инвестиций I^* и один и тот же уровень потребления C^*.

В этом случае ежегодный уровень потребления составит:

C^* = 80 \sqrt{I^*} - I^*

Относительно I^* – это парабола с ветвями направленными вниз, следовательно, мы можем найти точку максимума: I^*=1600, C^*=1600.

Докажем, что число вечно счастливых семей не может быть больше 1600. Предположим противное: пусть в каждый момент времени есть не менее 1601 счастливой семьи. Тогда:

1601 \leq C_t = 80 \sqrt{I_{t-1}} - I_t = 80 \sqrt{I_{t-1}} - I_{t-1} - (I_t - I_{t-1}) \leq 1600 - (I_t - I_{t-1}) \\ (I_t - I_{t-1}) \leq -1

Получаем, что в этом случае инвестиции уменьшаются на единицу каждый год. Следовательно, в конце концов они упадут до нуля, что уж точно не позволит поддерживать требуемый уровень потребления. Таким образом, мы получили противоречие.

Ответ: Таким образом, следует каждый год засеивать по 1600 тонн риса и при этом каждый год 1600 семей в стране Альфа будут счастливы.

Ответ:

а). В 2017 году следует посадить 1600 тонн риса, а в 2018 году – ноль тонн. 3200 семей будут счастливы на протяжении этих двух лет, однако в 2019 году число счастливых семей окажется равным нулю.

б). Следует каждый год засеивать по 1600 тонн риса и при этом каждый год 1600 семей в стране Альфа будут счастливы.