Счастливые рисоеды
В стране Альфа производится единственный товар – рис. Собранный в конце каждого года урожай риса жители страны могут либо съесть, либо засеять на поля, чтобы в следующем году получить новый урожай. Таким образом, Y_t=I_t+C_t, где Y_t – собранный в году t урожай, C_t – потребление в году t, I_t – объём посева в году t (все переменные измеряются в тоннах). Засеяв I_t тонн риса в году t, в следующем году можно собрать урожай Y_{t+1}= \sqrt{I_t}.
По итогам каждого года каждая семья в стране Альфа либо счастлива, либо несчастлива. Все счастливые семьи похожи друг на друга (после сбора урожая они получают как минимум по тонне риса), каждая несчастливая семья несчастлива по-своему (такие семьи получают меньше тонны риса или не получают рис вовсе, поэтому в течение года выживают кто как может). Общее число семей в стране настолько велико, что, к сожалению, все счастливы быть не могут.
В начале 2017 года к власти в стране Альфа пришёл новый президент. Срок его полномочий – 2 года, и он хочет, чтобы число семей, которые счастливы в течение всего срока его правления, было как можно большим (что будет потом, его не интересует). Президент сам решает, как именно следует распределять весь выращенный рис. Президент знает, что в прошлом году было засеяно 3600 тонн риса.
а) (15 баллов) Какое количество риса следует засеять в 2017 и 2018 годах для достижения цели президента? Сколько семей при этом будет счастливо в каждый из двух указанных годов?
Сколько семей в этом случае будет счастливо в 2019 году?
б) (15 баллов) Представим теперь, что президент задумался о вечном. Какое максимальное количество семей может быть счастливо в экономике страны Альфа на протяжении бесконечно долгого периода времени (то есть начиная с 2017 года и навсегда)? Сколько риса для достижения этой цели следует сеять каждый год?
а) Количество счастливых семей равно потреблению риса.
C_{2017} = 80 \sqrt{3600} - I_{2017} \\ C_{2018} = \sqrt{I_{2017}}
(в последнем периоде нет смысла инвестировать, так как президента не волнует, что будет в 2019 году). Чтобы достичь своей цели, президенту следует максимизировать минимум из C_{2017}, C_{2018}. Для этого, нужно, чтобы указанные переменных были равны. Отсюда получаем уравнение:
80 \cdot 60 - I_{2017} = 80 \cdot \sqrt{I_{2017}}
Отсюда находим: I_{2017} = 1600, \ C_{2017} = C_{2018} = 3200.
Ответ: в 2017 году следует посадить 1600 тонн риса, а в 2018 году – ноль тонн. 3200 семей будут счастливы на протяжении этих двух лет, однако в 2019 году число счастливых семей окажется равным нулю.
б) Чтобы потребление семей вечно поддерживалось на постоянном уровне, необходимо, чтобы каждый год поддерживался один и тот же уровень инвестиций I^* и один и тот же уровень потребления C^*.
В этом случае ежегодный уровень потребления составит:
C^* = 80 \sqrt{I^*} - I^*
Относительно I^* – это парабола с ветвями направленными вниз, следовательно, мы можем найти точку максимума: I^*=1600, C^*=1600.
Докажем, что число вечно счастливых семей не может быть больше 1600. Предположим противное: пусть в каждый момент времени есть не менее 1601 счастливой семьи. Тогда:
1601 \leq C_t = 80 \sqrt{I_{t-1}} - I_t = 80 \sqrt{I_{t-1}} - I_{t-1} - (I_t - I_{t-1}) \leq 1600 - (I_t - I_{t-1}) \\ (I_t - I_{t-1}) \leq -1
Получаем, что в этом случае инвестиции уменьшаются на единицу каждый год. Следовательно, в конце концов они упадут до нуля, что уж точно не позволит поддерживать требуемый уровень потребления. Таким образом, мы получили противоречие.
Ответ: Таким образом, следует каждый год засеивать по 1600 тонн риса и при этом каждый год 1600 семей в стране Альфа будут счастливы.
Ответ:
а). В 2017 году следует посадить 1600 тонн риса, а в 2018 году – ноль тонн. 3200 семей будут счастливы на протяжении этих двух лет, однако в 2019 году число счастливых семей окажется равным нулю.
б). Следует каждый год засеивать по 1600 тонн риса и при этом каждый год 1600 семей в стране Альфа будут счастливы.