Неравенство доходов в Округе
В некотором Округе кривая Лоренца задается уравнением .
а) Какой долей совокупного дохода Округа обладают 60% беднейших? 20% богатейших?
б) Рассчитайте коэффициент Джини.
а) По определению кривой Лоренца, доля дохода, которой обладают 60% беднейших – это .
Доля дохода, которой обладают 20% богатейших – это единица минус доля дохода, которой обладают 80% беднейших, то есть .
Таким образом, в нашем округе 60% беднейших обладают 20% дохода, а 20% богатейших – 60% дохода. Интуитивно кажется, что такая диспропорция означает довольно высокую степень неравенства в обществе. Какую же оценку неравенству даст коэффициент Джини?
б) Построим на одном графике кривую Лоренца нашего округа и прямую абсолютного равенства. По определению, искомый коэффициент Джини представляет собой отношение (см. рис.):
Теперь нам осталось найти .
Преобразуем уравнение кривой Лоренца:
Как видим, в данном Округе кривая Лоренца представляет собой не что иное, как участок окружности с центром точке (0;1) и радиусом, равным 1.
Значит, сумма площадей и равна площади четверти соответствующего круга, то есть
Учитывая то, что , получаем , и значит,
Таким образом, степень неравенства в данном обществе действительно достаточно высока.
Ответ:
а) 60% беднейших обладают 20% дохода, а 20% богатейших – 60% дохода.
б)