а) По определению кривой Лоренца, доля дохода, которой обладают 60% беднейших – это y(0{,}6) = 1 - \sqrt{1 - 0{,}6^2} = 0{,}2..

Доля дохода, которой обладают 20% богатейших – это единица минус доля дохода, которой обладают 80% беднейших, то есть 1 - y(0{,}8) = 1 - \left( 1 - \sqrt{1 - 0{,}8^2} \right) = 0{,}6..

Таким образом, в нашем округе 60% беднейших обладают 20% дохода, а 20% богатейших – 60% дохода. Интуитивно кажется, что такая диспропорция означает довольно высокую степень неравенства в обществе. Какую же оценку неравенству даст коэффициент Джини?

б) Построим на одном графике кривую Лоренца нашего округа и прямую абсолютного равенства. По определению, искомый коэффициент Джини представляет собой отношение G = \frac{S_2}{S_2 + S_3} = 2 S_2 (см. рис.):

Теперь нам осталось найти S_2 .

Преобразуем уравнение кривой Лоренца:

y = 1 - \sqrt{1 - x^2}

1 - y = \sqrt{1 - x^2}

(y - 1)^2 + x^2 = 1

Как видим, в данном Округе кривая Лоренца представляет собой не что иное, как участок окружности с центром точке (0;1) и радиусом, равным 1.

Значит, сумма площадей S_1 и S_2 равна площади четверти соответствующего круга, то есть

S_1 + S_2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{4}

Учитывая то, что S_1 = \frac{1}{2}, получаем S_2 = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} , и значит, G = 2S_2 = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}57.

Таким образом, степень неравенства в данном обществе действительно достаточно высока.

Ответ:

а) 60% беднейших обладают 20% дохода, а 20% богатейших – 60% дохода.

б) G = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}57