а) Цель монополиста – максимизация прибыли. Так как по условию задачи дискриминация отсутствует (цена для обеих групп потребителей одинаковая), то монополист работает с общим спросом на товар:

Q_d = \begin{cases} 26 - 2p, & p \in [0, 10] \\ 16 - p, & p \in (10, 16] \end{cases}

Далее удобно разбить задачу на два случая.

Сначала рассмотрим случай, когда 0\leq p\leq 10.

Тогда спрос задаётся уравнением Q_d=26-2p, откуда Q\in[6;26]

Найдём выручку монополиста:

P = 13 - \frac{Q}{2} \implies TR_1 = 13Q - \frac{Q^2}{2}

Так как спрос на товар зависит от цены в рублях, то выручка тоже выражена в рублях. Однако издержки монополиста выражены в долларах. При нахождении прибыли важно перевести всё в одинаковые единицы измерения.

Издержки монополиста в рублях равны TC=x*0,5*Q^2.

Тогда прибыль монополиста будет выглядеть так:

PR_1 = TR_1 - TC \implies PR_1 = 13Q - \frac{Q^2}{2} - 0.5x \cdot Q^2 = 13Q - (1 + x) \cdot \frac{Q^2}{2} \to \max

PR_1' = 13 - (1 + x) \cdot Q = 0 \implies Q = \frac{13}{1 + x}

Это максимум прибыли, так как её график – парабола ветвями вниз.

Q \in [6; 26] \implies 6 \leq \frac{13}{1 + x} \leq 26 \implies x \leq \frac{7}{6}

Таким образом, прибыль монополиста в этого случаи составит:

PR_1 = \frac{169}{2(1 + x)}

Заметим, что для всех x>0 прибыль положительна, а значит монополист будет производить ненулевое количество товара.

Теперь рассмотрим случай, когда 10<p\leq 16.

Сделаем те же расчёты для спроса Q_d=16-p, где Q\in[0;6].

P = 16 - Q \implies TR_2 = 16Q - Q^2

PR_2 = 16Q - Q^2 - 0.5x \cdot Q^2 = 16Q - (1 + 0.5x) \cdot Q^2 \to \max

PR_2' = 16 - (2 + x) \cdot Q = 0 \implies Q = \frac{16}{2 + x}

Это максимум прибыли, так как её график – парабола ветвями вниз.

Q \in [0; 6) \implies 0 \leq \frac{13}{1 + x} < 6 \implies x > \frac{2}{3}

Таким образом, прибыль монополиста для этого случая составит:

PR_2 = \frac{128}{2 + x}

Заметим, что для всех x>0 прибыль также положительна, а значит монополист будет производить ненулевое количество товара.

Теперь сравним прибыль монополиста в каждом случае для каждого x

PR_1 > PR_2 \implies \frac{169}{2(1 + x)} > \frac{128}{2 + x} \implies x < \frac{82}{87}

Значит, при курсе доллара от 0 до 82/87 монополист будет производить Q=\frac{13}{1+x}, так как в этом случае его прибыль больше. При более высоких значениях курса доллара монополист будет производить Q=\frac{16}{2+x}.

Ответ: Q = \begin{cases} \frac{13}{1 + x}, & \text{при } 0 < x \leq \frac{82}{87} \\ \frac{16}{2 + x}, & \text{при } x > \frac{82}{87} \end{cases}

б) Ослабление рубля – это увеличение курса доллара, то есть рост x. Так как прибыль монополиста отрицательно зависит от x, то ослабление рубля приведёт к уменьшению его прибыли. Это вполне логично, потому что увеличение курса доллара увеличивает издержки монополиста в рублях. Он продаёт товар на российском рынке, следовательно, при неизменной выручке и растущих издержках его прибыль уменьшается.