Задача 3 ОЧ-2014 (10-11 класс)
Продукцию максимизирующего прибыль монополиста могут приобретать две группы потребителей, функции спроса которых имеют вид: и , где – количество товара (в тоннах), а – цена товара в рублях. Монополист обязан назначать одинаковую цену на товар для всех потребителей. Общие издержки монополиста, измеренные в долларах, заданы уравнением .
а) Обозначим – валютный курс доллара (рублей за доллар). Для каждого значения валютного курса доллара определите оптимальный выпуск монополиста.
б) Как сказывается на прибыли монополиста ослабление рубля? Положительно или отрицательно? Дайте экономическую интерпретацию полученного результата.
а) Цель монополиста – максимизация прибыли. Так как по условию задачи дискриминация отсутствует (цена для обеих групп потребителей одинаковая), то монополист работает с общим спросом на товар:
Далее удобно разбить задачу на два случая.
Сначала рассмотрим случай, когда .
Тогда спрос задаётся уравнением , откуда
Найдём выручку монополиста:
Так как спрос на товар зависит от цены в рублях, то выручка тоже выражена в рублях. Однако издержки монополиста выражены в долларах. При нахождении прибыли важно перевести всё в одинаковые единицы измерения.
Издержки монополиста в рублях равны .
Тогда прибыль монополиста будет выглядеть так:
Это максимум прибыли, так как её график – парабола ветвями вниз.
Таким образом, прибыль монополиста в этого случаи составит:
Заметим, что для всех прибыль положительна, а значит монополист будет производить ненулевое количество товара.
Теперь рассмотрим случай, когда .
Сделаем те же расчёты для спроса , где .
Это максимум прибыли, так как её график – парабола ветвями вниз.
Таким образом, прибыль монополиста для этого случая составит:
Заметим, что для всех прибыль также положительна, а значит монополист будет производить ненулевое количество товара.
Теперь сравним прибыль монополиста в каждом случае для каждого
Значит, при курсе доллара от до монополист будет производить , так как в этом случае его прибыль больше. При более высоких значениях курса доллара монополист будет производить .
Ответ:
б) Ослабление рубля – это увеличение курса доллара, то есть рост . Так как прибыль монополиста отрицательно зависит от , то ослабление рубля приведёт к уменьшению его прибыли. Это вполне логично, потому что увеличение курса доллара увеличивает издержки монополиста в рублях. Он продаёт товар на российском рынке, следовательно, при неизменной выручке и растущих издержках его прибыль уменьшается.