Функция рыночного спроса:

q_{\text{рын}} = \begin{cases} 90 - 3p, & p < 20 \\ 50 - p, & 20 \leq p < 50 \end{cases}

Издержки, которые несет Иван:

FC=200+85*n, n - количество используемых серверов

VC=2Q

Ситуация 1. Единая цена для двух групп

Прибыль фирмы:

Pr = (30 - 13Q) \times Q - 2Q - 200 - 85n \rightarrow \max

(30 - 23Q) - 2 = 0

Количество, максимизирующее прибыль фирмы: Q^*=42. Тогда цена, которую Иван должен назначить, составляет p^*=30-(1/3)*42=16. Заметим, что полученная цена удовлетворяет первому участку функции рыночного предложения.

Также полезно заметить, что мы нашли именно максимум прибыли, потому что функция прибыли - парабола, ветвями вниз.

Однако с одним сервером Иван не сможет продавать весь этот выпуск. Таким образом, перед ним встает вопрос: продавать только 40 аудиокниг, оплачивая только 1 сервер, или дополнительно приобрести еще один сервер и продавать оптимальное количество.

Сравним прибыли Ивана в этих двух случаях.

Если используется 1 сервер:

Pr = \left(30 - \frac{1}{3} \ast 40\right) \ast 40 - 2 \ast 40 - 200 - 85 \ast 1 = \frac{905}{3} = 301 \frac{2}{3}

Если используются 2 сервера:

Pr = \left(30 - \frac{1}{3} \ast 42\right) \ast 42 - 2 \ast 42 - 200 - 85 \ast 2 = 218

Поэтому Ивану выгоднее использовать только 1 сервер. Его прибыль при этом составит P_r= 301 \frac{2}{3}.

Проверим второй участок предложения:

Pr = (50 - Q) \ast Q - 2Q - 200 - 85n \rightarrow max

(50 - 2Q) - 2 = 0

Количество, максимизирующее прибыль фирмы: Q^*=24. Тогда цена, которую Иван должен назначить, составляет p^*=50-24=26. Заметим, что полученная цена удовлетворяет второму участку функции рыночного предложения.

При Q^*=24 Ивану потребуется всего 1 сервер. Его прибыль составит:

P_r=24*26-2*24-200-85*1=291. Это меньше, чем максимальная прибыль в предыдущем пункте.

Ситуация 2. Разные цены для двух групп.

Pr = (50 - q_1) \ast q_1 + \left(20 - \frac{1}{2}q_2\right) \ast q_2 - 2(q_1 + q_2) - 200 - 85n \rightarrow max(q_1, q_2)

Функция прибыли - сумма двух парабол ветвями вниз. Максимум прибыли достигается, если каждая из парабол достигает максимума. Это происходит при условиях:

(50 - 2q_1) - 2 = 0

(20 - q_2) - 2 = 0

Т.е. при q_1=24 и q_2=18. Суммарное продаваемое количество Q=24+18=42, что требует использования двух серверов. Тогда прибыль фирмы составит:

Pr = (50 - 24) \cdot 24 + (20 - 12 \cdot 18) \cdot 18 - 2(24 + 18) - 200 - 85 \cdot 2 = 368

Как и в первом случае, необходимо сравнить полученную прибыль с прибылью, которую можно получить, используя только один сервер. Тогда необходимо решить следующую задачу:

Pr = (50 - q_1) \cdot q_1 + \left(20 - \frac{1}{2} q_2\right) \cdot q_2 - 2(q_1 + q_2) - 200 - 85n \to \max(q_1, q_2)

при условии q_1+q_2=40

Выражая одно количество через другое и подставляя в функцию прибыли, получаем:

Pr = (50 - (40 - q_2)) \cdot (40 - q_2) + \left(20 - \frac{1}{2} q_2\right) \cdot q_2 - 2 \cdot 40 - 200 - 85n \to \max(q_2)

Pr = (10 + q_2)(40 - q_2) + 20q_2 - \frac{1}{2} q_2^2 - 280 - 85 = 50q_2 - \frac{3}{2} q_2^2 + 35

50 - 3q_2 = 0

Оптимальное количество в этом случае: q_2=50/3=16\frac{2}{3}. Однако количество продаваемых аудиокниг, естественно, может быть только целым числом. Поэтому необходимо сравнить два ближайших целых значения:

1) q_2=16

q_1 = 40 - 16 = 24, \; p_1 = 50 - 24 = 26; \; p_2 = 20 - 12 \cdot 16 = 12.

Прибыль фирмы составит: Pr = 50 \cdot 16 - \frac{3}{2} \cdot 16^2 + 35 = 451

2) q_2=17

Тогда q_1 = 40 - 17 = 23, \; p_1 = 50 - 23 = 27, \; p_2 = 20 - \frac{1}{2} \cdot 17 = 11 \frac{1}{2}.

Прибыль фирмы составит: Pr = 50 \cdot 17 - \frac{3}{2} \cdot 17^2 + 35 = 451 \frac{1}{2}.

Таким образом, прибыль с использованием одного сервера превосходит прибыль при использовании двух серверов. Поэтому прибыль Ивана составит 451\frac{1}{2}. Будет продано q_2=17 по цене p_2=11\frac{1}{2} и q_1=23 по цене p_1=27.

3) Если аренда сервера теперь составляет 1 читалик.

Ситуация 1: PR_{1 сервер} = 301 \frac{2}{3} + 85 - 1 = 385 \frac{2}{3}; \quad PR_{2 сервер} = 218 + 85 \cdot 2 - 2 = 386.

Теперь выгоднее продавать 42 аудиокниги, используя 2 сервера.

Ситуация 2: PR_{1 сервер} = 451 \frac{1}{2} + 85 - 1 = 535 \frac{1}{2}; \quad PR_{2 сервер} = 368 + 85 \cdot 2 - 2 = 536.

Теперь выгоднее использовать два сервера. Продавать q_1=24 и q_2=18.