Задача 2 ОЧ-2015 (11 класс)
Иван Федоров – владелец книжного интернет-магазина в стране Читалия. Он давно думал о расширении ассортимента, и, узнав о том, что в году исполняется лет со дня рождения Сергея Есенина, Иван решил начать продажу аудиокниг с произведениями этого поэта.
Иван выяснил, что аудиокниги с произведениями С. Есенина будут интересны двум группам потребителей со следующими функциями спроса: и .
Издержки на разработку нового раздела сайта и приобретение оригинала аудиозаписи составили читаликов (читалики – денежные единицы Читалии). читалика с каждой проданной аудиокниги Иван обязан перечислять автору оригинала аудиозаписей.
Продажа будет устроена таким образом, что покупатели смогут скачивать аудиокнигу прямо с сайта магазина. Для этого Ивану необходимо оплатить как минимум один сервер – читаликов. Максимальная пропускная способность одного такого сервера составляет скачиваний. Если спрос на аудиокниги неожиданно окажется высоким, Иван может оплатить дополнительные серверы, за каждый из которых также придется заплатить читаликов.
Естественно, количество продаваемых аудиокниг может быть только целым числом.
-
Допустим, что Иван решил продавать аудиокниги обеим группам по единой цене. Найдите количество продаваемых копий, их цену и прибыль Ивана.
-
Допустим, что есть возможность продавать аудиокниги разным сегментам по разным ценам. Какими будут объемы продаж, цены и прибыль в этом случае?
-
Изменится ли число продаваемых аудиокниг в ситуациях 1) и 2), если теперь Иван сможет оплачивать каждый сервер всего лишь за читалик. Если да, то как? Если нет, то почему?
Функция рыночного спроса:
Издержки, которые несет Иван:
, - количество используемых серверов
Ситуация 1. Единая цена для двух групп
Прибыль фирмы:
Количество, максимизирующее прибыль фирмы: . Тогда цена, которую Иван должен назначить, составляет . Заметим, что полученная цена удовлетворяет первому участку функции рыночного предложения.
Также полезно заметить, что мы нашли именно максимум прибыли, потому что функция прибыли - парабола, ветвями вниз.
Однако с одним сервером Иван не сможет продавать весь этот выпуск. Таким образом, перед ним встает вопрос: продавать только аудиокниг, оплачивая только сервер, или дополнительно приобрести еще один сервер и продавать оптимальное количество.
Сравним прибыли Ивана в этих двух случаях.
Если используется сервер:
Если используются сервера:
Поэтому Ивану выгоднее использовать только сервер. Его прибыль при этом составит .
Проверим второй участок предложения:
Количество, максимизирующее прибыль фирмы: . Тогда цена, которую Иван должен назначить, составляет . Заметим, что полученная цена удовлетворяет второму участку функции рыночного предложения.
При Ивану потребуется всего сервер. Его прибыль составит:
. Это меньше, чем максимальная прибыль в предыдущем пункте.
Ситуация 2. Разные цены для двух групп.
Функция прибыли - сумма двух парабол ветвями вниз. Максимум прибыли достигается, если каждая из парабол достигает максимума. Это происходит при условиях:
Т.е. при и . Суммарное продаваемое количество , что требует использования двух серверов. Тогда прибыль фирмы составит:
Как и в первом случае, необходимо сравнить полученную прибыль с прибылью, которую можно получить, используя только один сервер. Тогда необходимо решить следующую задачу:
при условии
Выражая одно количество через другое и подставляя в функцию прибыли, получаем:
Оптимальное количество в этом случае: . Однако количество продаваемых аудиокниг, естественно, может быть только целым числом. Поэтому необходимо сравнить два ближайших целых значения:
1)
Прибыль фирмы составит:
Тогда
Прибыль фирмы составит:
Таким образом, прибыль с использованием одного сервера превосходит прибыль при использовании двух серверов. Поэтому прибыль Ивана составит . Будет продано по цене и по цене .
- Если аренда сервера теперь составляет читалик.
Ситуация 1:
Теперь выгоднее продавать аудиокниги, используя сервера.
Ситуация 2:
Теперь выгоднее использовать два сервера. Продавать и .