Всё тайное становится явным

В порядковой (ординалистской) теории полезности есть два утверждения, которые постоянно применяются и в теоретических рассуждениях, и при решении задач, однако крайне редко доказываются. На эти доказательства не находится времени ни в школьной экономике, ни в экономических бакалавриатах. Кроме того, эти утверждения предпочитают давать без доказательства и авторы большинства учебников.

(a) В порядковой теории полезности к функции полезности   можно применить любое положительное монотонное преобразование  (например,   может быть квадратным корнем или натуральным логарифмом), то есть превратить её в функцию . Причина в том, что предпочтения, репрезентируемые функцией полезности, от такого преобразования не меняются. Однако нетрудно заметить, что эти преобразования искажают (меняют) функции предельной полезности   и . Тогда почему после применения преобразования   мы по-прежнему имеем право пользоваться так называемым вторым законом Госсена (эквимаржинальным принципом оптимального выбора):

?

(b) Предельная норма замещения ( ) убывает — в порядковой теории полезности это утверждение обычно принимается в качестве аксиомы. Геометрически оно означает, что [при условии локальной ненасыщаемости обоими благами] кривые безразличия должны быть вогнутыми (иначе говоря, выпуклыми к началу координат). Эта интерпретация интуитивно понятна, однако, её строгий вывод вовсе не очевиден. Как же показать, что если  убывает, то кривые безразличия действительно должны быть вогнутыми?

Комментарий. В чём экономическое значение этого доказательства? По сути речь о том, чтобы вывести глобальное свойство вогнутости (сбалансированные товарные наборы предпочтительнее экстремальных) из локального свойства убывания предельной нормы замещения (чем больше благ в товарном наборе фиксированной полезности, тем меньше количество благ , которым потребитель готов пожертвовать ради получения одного дополнительного блага ).