In coffee veritas
В университете работает единственная кофейня, которая продаёт кофе (x) и булочки (y), а также учатся студенты, которых можно разделить на три группы. Первая группа пьет только кофе, её функция спроса на кофе имеет вид x_1=330-P_x, где P_x — стоимость одной чашки кофе. Вторая группа любит только булочки, и её функция спроса имеет вид y_2=330-P_y, где P_y — стоимость одной булочки. Третья группа студентов любит и кофе, и булочки, и покупает их вместе. Они всегда потребляют одинаковое количество булочек и чашек кофе, и соответствующие функции спроса определяются следующим образом:
x_3=y_3=330-0,75P_x-0,75P_y.
Предельные и средние издержки на производство кофе и булочек постоянны и равны c_x=c_y=96. Других издержек нет.
Кофейня максимизирует свою прибыль, и продолжает работать, если получает неотрицательную прибыль. Считайте, что кофе и булочки бесконечно делимы. Предполагается, что студенты не могут перепродавать товары друг другу.
а) ( 8 баллов) Запишите зависимость прибыли кофейни от цен P_x и P_y в случае, если каждая из цен меньше 220. Предположим, что кофейня решила установить цену P_y=180. Найдите цену P_x, максимизирующую прибыль в этом случае.
Находим суммарные спросы на кофе и булочки:
x = 660 - \frac{7}{4}P_x - \frac{3}{4}P_y, \quad y = 660 - \frac{7}{4}P_y - \frac{3}{4}P_x.
Запишем зависимость:
\pi(P_x, P_y) = \left(660 - \frac{7}{4}P_x - \frac{3}{4}P_y\right)(P_x - 96) + \left(660 - \frac{7}{4}P_y - \frac{3}{4}P_x\right)(P_y - 96).
Целевая функция — парабола ветвями вниз относительно P_x. Для нахождения максимума находим вершину параболы: P_x = \frac{660 + 240 - 1{,}5P_y}{3{,}5} = 180. По условию, P_y = 180 \Rightarrow P_x = 180.
б) ( 2 балла) К менеджеру кофейни пришёл экономист Иван, который предложил изменить способ продажи кофе и булочек, а именно, продавать комплекты из одной чашки кофе и одной булочки по цене P_b. У третьей же группы потребителей функция спроса на комплекты будет иметь вид b_3=330-0,75P_b, где b — комплект из одной чашки кофе и одной булочки. Выпишите функции спроса на комплекты для 1 и 2 группы студентов.
Спрос на комплекты первых двух групп: b_1=330-P_b, \quad b_2=330-P_b.
в) ( 6 баллов) Найдите цену P_b, которую назначит кофейня, и количество проданных комплектов, если кофейня начнет продавать товары только комплектами.
Суммарный спрос:
b = \begin{cases} 330 - 0{,}75P_b, & P_b \ge 330, \\[6pt] 990 - 2{,}75P_b, & P_b < 330. \end{cases}
Рассмотрим второй участок.
\pi_1 = (990 - 2{,}75P_b)(P_b - 192) = 990P_b - 990 \cdot 192 - 2{,}75P_b^2 + 528P_b.
Целевая функция — парабола ветвями вниз, тогда вершина P_b = \dfrac{990 + 528}{5{,}5} = 276.
Рассмотрим первый участок.
\pi_2 = (330 - 0{,}75P_b)(P_b - 192) = 330P_b - 0{,}75P_b^2 - 192 \cdot 330 + 144P_b.
Вершина находится в точке P_b = \dfrac{474}{1{,}5} = 316 < 330. Получается, что на рынке установится цена 276. Тогда количество проданных комплектов 231.
г) ( 5 баллов) Найдите цены P_x, \ P_y, \ P_b,, если кофейня будет продавать и комплекты по цене P_b, и товары по отдельности по ценам P_x и P_y.
Цена комплекта будет не ниже цены каждого товара. Поэтому первая и вторая группа покупают в кофейне с раздельной продажей, третья группа покупает комплекты.
\pi = (330 - P_x)(P_x - 96) + (330 - P_y)(P_y - 96) + (330 - 0{,}75P_b)(P_b - 192) ), тогда P_x = P_y = \frac{426}{2} = 213, \quad P_b = 316.
Мы получили, что оптимальная цена кофе и оптимальная цена булочки в сумме больше, чем оптимальная цена комплекта, но по отдельности они ниже стоимости комплекта.
д) ( 4 балла) Не вычисляя прибыль фирмы, определите, какую из трех стратегий (из пунктов а), \ в) или г) ) выберет фирма? Дайте интуитивное объяснение полученному результату.
В пункте г) кофейне доступны обе схемы продажи, поэтому, она может, например, установить цены как в пункте а), а на комплект поставить очень высокую цену (выше суммы цен отдельных товаров). Или, наоборот, поставить цену как в пункте в), а по отдельности продавать очень дорого (выше цены комплекта). Однако, в пункте г) оптимальные цены такие, что стоимость комплекта выше каждой из цен, но ниже их суммы, получается использовать обе схемы продаж выгодно, то есть прибыль в пункте г) точно не меньше, чем в пунктах а) и б).