В университете работает единственная кофейня, которая продаёт кофе (x) и булочки (y), а также учатся студенты, которых можно разделить на три группы. Первая группа пьет только кофе, её функция спроса на кофе имеет вид x_1=330-P_x, где P_x — стоимость одной чашки кофе. Вторая группа любит только булочки, и её функция спроса имеет вид y_2=330-P_y, где P_y — стоимость одной булочки. Третья группа студентов любит и кофе, и булочки, и покупает их вместе. Они всегда потребляют одинаковое количество булочек и чашек кофе, и соответствующие функции спроса определяются следующим образом:

x_3=y_3=330-0,75P_x-0,75P_y.

Предельные и средние издержки на производство кофе и булочек постоянны и равны c_x=c_y=96. Других издержек нет.

Кофейня максимизирует свою прибыль, и продолжает работать, если получает неотрицательную прибыль. Считайте, что кофе и булочки бесконечно делимы. Предполагается, что студенты не могут перепродавать товары друг другу.

а) ( 8 баллов) Запишите зависимость прибыли кофейни от цен P_x и P_y в случае, если каждая из цен меньше 220. Предположим, что кофейня решила установить цену P_y=180. Найдите цену P_x, максимизирующую прибыль в этом случае.