Мы все составляем задачи
Однажды 4 студента, занимающиеся небезызвестной наукой Э, встретились и решили заняться составлением задач по этой славной науке. Как ни печально им ещё и надо делать домашки (хотя бы иногда). Их КПВ в координатах x – домашки и y – задачи будут задаваться так:
\text{A: } Y + X \cdot (X_b + 1) = 10, \, \text{B: } Y + X = 9, \, \text{C: } Y^2 + X^2 = 4 \cdot Y_a^2, \, \text{D: } Y + X = 5.
X_b – кол-во икса, произведенное студентом B, Y_d – кол-во игрека, произведенное студентом D, Y_a – кол-во игрека, произведенное студентом A.
A). Постройте суммарную КПВ четырёх студентов в координатах X и Y.
Б). Найдите их производство в следующих случаях:
1) Им надо сдать на всех 15 домашек и они максимизируют кол-во задач.
2) Им надо сдать 10 домашек и 10 задач обязательно, а в дальнейшем они максимизируют функцию U=min(2x;y). Уже произведенные домашки и задачи не учитываются в ней.
А) Заметим, что у нас есть две пары КПВ, где одно зависит от другого. (A и B, C и D ).
Сложим эти пары по отдельности, а затем просуммируем две получившиеся КПВ, как обычные независимые друг от друга КПВ.
А.1) Суммируем D и C. КПВ студента C это четверть окружности радиуса 2*Y_d. Обозначим предельный случай при Y_d=5.
КПВ будет выглядеть так:
Уравнение:
Y = \begin{cases} \sqrt{100 - X^2}, & X \in [0; 10] \\ [0; 5], & X = 10 \end{cases}
Заметим, что при изменении Y_d в сторону уменьшения у данной КПВ появится горизонтальный участок равный 5-Y_d. Однако при любом изменении Y_d в сторону уменьшения максимально суммарный X упадет (его сумма X_d+2(5-X_d)=5+Yd ), также и с максимальным Y_d \left( Y_{\text{общ}} = 3Y_d \right). То есть при сокращении Y_d четверть окружности съедет вниз и влево, при этом ещё и уменьшится. Координаты её крайних точек будут (5 - Y_d; \, 3Y_d), \, (5 + Y_d; \, Y_d). Начертим прямые, на которых лежат левая (красная наклонная прямая) и правая (чёрная прямая) крайние точки окружности. Дальше становится очевидным, что она целиком лежит под текущим графиком КПВ при Y_d=5. Также очевидно, что проведенные из левой точки горизонтальный участок и из правой точки вертикальный также лежит под графиком КПВ при Y_d=5.
А.2) В случае C и D Y в каждом КПВ не зависит от другого КПВ. При каждом выбранном и зафиксированном X_b функция КПВ будет иметь вид сначала горизонтальной прямой Y=19-X_b, потом наклонной Y = 19 - X_b - (X - X_b)(X_b + 1), а затем вертикальной прямой из точки X = X_b + \frac{10}{X_b + 1}.
Координаты первой точки излома (X_b;19-X_b), координаты второй точки излома ( X_b + \frac{10}{1 + X_b}, 9 - X_b). Максимальный суммарный Xдостигается на ограничениях, то есть при X_b=0 и X_b=9, при этих значениях Y_{\text{общ}}=10. (Довольно легко доказать, что максимум лежит на ограничениях. Для этого необязательно искать экстремум, который окажется минимумом. Можно представить, как выглядит такая функция в общем виде (x+1/x), затем, увидев, что на ограничениях значения совпадают, сделать вывод, что это и будут максимумы.)
Докажем теперь, что первое КПВ будет нашим искомым КПВ. Очевидно точка пересечения КПВ при любом X_b будет меньше или равна 19 по игреку. Аналогично с точкой пересечения с осью абсцисс, она всегда будет либо меньше, либо равна 10 по иксу. Точка пересечения горизонтального и наклонного участков имеет координаты (X_b;19-X_b), отсюда можем получить уравнение прямой, на которой лежит эта точка, Y=19-X. Заметим, что это участок КПВ при X_b=0, значит на выбранном ограничении X_b эта точка полностью лежит на нём. Точка пересечения вертикального и наклонного участка имеет координаты \left( X_b + \frac{10}{1 + X_b}; 9 - X_b \right). Отсюда уравнение кривой, на которой лежит эта точка. X = 9 - Y + \frac{10}{10 - Y}.
Начертив, можно убедиться, что эта прямая лежит полностью слева от КПВ при X_b=0 при заданном ограничении на X_b. Поскольку все точки излома лежат или на, или под КПВ при X_b=0, то это и будет искомое нами КПВ. (Все точки соединены прямыми участками, ни одной вершины не лежит за этой КПВ, следовательно, как бы мы ни старались, за эту границу выйти не получится. Итак, уравнение КПВ, которое мы искали y = \begin{cases} 19 - X, & X \in [0; 10] \\ \in [0; 9], & X = 10 \end{cases}
А.3) Остается сложить две КПВ. Вертикальный участок очевидно удлинится и будет иметь длину 14. Наклонный участок имеет постоянную производную -1. Приравняем её к производной четверти окружности и получим точку перехода. Конечное КПВ имеет такой вид:
КПВ будет задаваться следующим образом:
Y = \begin{cases} \sqrt{100 - X^2} + 24, & X \in [0; 5\sqrt{2}] \\ 24 + 10\sqrt{2} - X, & X \in [5\sqrt{2}; 5\sqrt{2} + 10] \\ \sqrt{20X - X^2} + 14, & X \in [5\sqrt{2} + 10; 20] \\ \in [0; 14], & X = 20 \end{cases}
Б) 1). Исходя из смысла КПВ нам достаточно подставить X=15 в функцию на соответствующем промежутке. Это второй промежуток. Поэтому Y=24+10\sqrt 2-15=9-10\sqrt 2. Это и есть конечный ответ. (Поскольку кол-во Y монотонно убывает при росте X нам нет выгоды его перепроизводить больше, чем требуемые 15 единиц).
2). Нам точно надо произвести по 10 единиц икса и игрека, при этом они не учитываются. Для такой функции минимума кривые безразличия будут иметь вид прямых углов, по мере возрастания полезности, смещающиеся вправо и вверх. Все вершины этих уголков будут лежать на прямой c коэффициентом k=2. (Для каждой возможной полезности минимально возможные x и y будут таковыми U=2x;U=y ).
При этом начинаться они будут из точки (10;10), так как эти единицы нам нужно отдать.
Остается пересечь прямую y=2x-10 с КПВ. Она пересечёт её на прямом участке. Найдём точку пересечения. X = \frac{34 + 10\sqrt{2}}{3}, \, Y = \frac{38 + 20\sqrt{2}}{3}. Это искомые нами числа.