Задание 4. Олимпиада Колокольникова 2024 (8 класс)
Линейный монополист
В линейном городе роскошного чая, который представляет из себя отрезок длины 1 с координатами [0, \ 1], действует фирма-монополист. Злой правитель давно держит обиду на монополиста, поэтому хочет расположить фирму в точке с координатой \alpha, где 0\leq \alpha \leq 1, а спрос на продукцию монополиста в этой точке будет равен Q_d=8\alpha -P. Издержки производства монополиста заданы функцией TC=3Q. Монополист максимизирует свою прибыль, а злой правитель стремится минимизировать её.
а) ( 8 баллов) Выведите функцию, которая будет показывать желаемый выпуск монополиста при разных положениях фирмы. Другими словами, найдите зависимость Q(\alpha).
Запишем функцию прибыли монополиста, считая \alpha заданной, так как на её выбор выбор он повлиять не может.
\Pi = TR - TC = QP - TC = Q(8\alpha - Q) - 3Q = -Q^2 + Q(8\alpha - 3).
( 3 балла за верное выражение для максимизации)
График этой функции - парабола ветвями вниз, следовательно, в силу свойств параболы максимум функции достигается в вершине, то есть оптимальным Q будет Q = \frac{-(8\alpha - 3)}{2 \times (-1)} \Rightarrow Q = \frac{8\alpha - 3}{2}. ( 2 балла) Но при 8\alpha-3<0 оптимальный выпуск монополиста является отрицательным, то есть точка оптимума недостижима, тогда в силу свойств параболы из доступных точек максимум функции будет в ближайшей к вершине точке, то есть в точке Q=0 ( 1 балл за упоминание ограничений). Тогда:
Q(\alpha) = 0 при 0 \leq \alpha < \frac{3}{8};
Q(\alpha) = \frac{8\alpha - 3}{2}, при \frac{3}{8} \leq \alpha \leq 1 ( 2 балла за функцию с ограничениями)
б) ( 7 баллов) Какие значения \alpha будут удовлетворять злого правителя?
Предположим, что правитель послушал приятную музыку и стал добрым. Теперь он выбирает такое место, чтобы прибыль монополиста была наибольшей.
Подставим Q(\alpha) в функцию прибыли монополиста, чтобы получить зависимость \Pi(\alpha). ( 2 балла за рассмотрение обоих случаев)
1) 0 \leq \alpha < \frac{3}{8} :
\Pi(\alpha) = -0^2 + 0 \times (8\alpha - 3) = 0 \quad \text{(1 балл)}
2) \frac{3}{8} \leq \alpha \leq 1 :
\Pi(\alpha) = -\left(\frac{8\alpha-3}{2}\right)^2 + \frac{8\alpha-3}{2} \times (8\alpha - 3) = \frac{(8\alpha-3)^2}{4} \quad \text{(2 балла)} (8\alpha -3)^2>0 при 8\alpha -3>0. То есть при \alpha > \frac {3}{8} монополист получает \Pi(\alpha) >0, что больше, чем в случае 0\leq \alpha <\frac {3}{8}, а значит, не удовлетворяет злого правителя. При этом при \alpha = \frac {3}{8} монополист получает \Pi(\alpha)=0. Проанализировав все случаи, мы получили, что минимальная прибыль равна нулю и достигается при 0\leq \alpha \leq \frac{3}{8}. ( 2 балла)
в) ( 5 баллов) Какую координату расположения теперь выберет правитель для фирмы? Найдите количество и цену, которую установит монополист.
Заметим, что функция \Pi(\alpha) не меняется по сравнению с пунктом б). Тогда добрый правитель точно откажется от выбора 0\leq \alpha < \frac{3}{8} ( 1 балл за определение участка выбранного \alpha ), так как при \frac {3}{8} < \alpha \leq 1 монополист получит \Pi(\alpha)>0.
Тогда \Pi(\alpha) = - \left( \frac{8\alpha-3}{2} \right)^2 + \frac{8\alpha-3}{2} \times (8\alpha - 3) = \frac{(8\alpha-3)^2}{4}.
Но заметим, что при увеличении 8 \alpha -3 при \alpha > \frac {3}{8} функция \frac {(\alpha -3)^2}{4} будет расти ( 1 балл), так как квадрат положительного числа больше квадрата меньшего положительного числа. Тогда добрый правитель выберет максимальное доступное \alpha, то есть \alpha =1. ( 1 балл)
Значит, Q=\frac {(8-3)}{2}=2,5, P=8-Q=5,5. (по 1 баллу за величину)