В основе решения лежит следующее утверждение: так как функции спроса линейные, то их можно определить так: Q=a-(a/b)P, а значит выручка продавцов (расходы покупателей) будут максимальными, когда эластичность спроса по цене будет равна (-1), что достигается при P=b/2 и Q=a/2.

Соответственно ПЕРВАЯ группа покупателей бесплатно готова получить максимально 100 \cdot 2 = 200 тонн товара А, а ВТОРАЯ группа 90 \cdot 2 = 180 тонн товара А. Вместе они готовы бесплатно получить 200+180=380 тонн товара А.

Совокупный спрос описывается кусочно-линейной функцией, Нам известно, что максимальная выручка достигается при цене, когда на рынке присутствуют обе группы покупателей, а значит если продолжить суммарную функцию спроса до пересечения с осью цен, то мы окажемся в точке P=47,5 \cdot 2 = 95. (Ситуацию, соответствующую предположению, что максимум выручки может достигаться в случае когда на рынке остается только одна группа покупателей мы не рассматриваем, так как по условию при цене P=47,5 на рынке покупки совершают обе группы покупателей.) Итак, суммарная функция спроса имеет вид Q_d=380-(380/95)P, или Q_d=380-4P. Однако это функция описывает только тот участок суммарной функции спроса, когда на рынке присутствуют обе группы покупателей.

Теперь легко найти выручку продавцов в исходном состоянии равновесия P_e=20, Q_e=380-4 \cdot 20=300. И TR=20 \cdot 300=6000 рублей.

Для того чтобы определиться с новым равновесием, нам надо выяснить какой будет функция предложения и на каком участке совокупного спроса будет оно достигаться равновесие (одна из групп покупателей при высокой цене товара А может покинуть рынок).

Так как нам известно, что предложение имеет единичную эластичность по цене и функция предложения линейна, значит функция предложения проходит через начало координат и через исходную точку равновесия. Легко отсюда определить вид функции предложения Q_s=15P.

Соответственно новое предложение будет описываться функцией Q_s=15P/30=0,5P, поскольку из-за роста цен на сырье предложение УМЕНЬШИЛОСЬ в 30 раз.

Так как нам известно, что при исходной равновесной цене расходы покупателей одинаковы, то значит и одинаковы объемы покупки товара А у каждой группы. И они составляют 150 тонн для каждой группы. Теперь легко восстановить исходные функции спроса покупателей каждой группы (используем подобие треугольников, или построение функции по двум точкам). Получаем – функция спроса ПЕРВОЙ группы покупателей - Q_d=200-2,5P и эта группа покупателей готова покупать товар до тех пор пока цена ниже 80 ден.ед. за тонну, а функция спроса ВТОРОЙ группы покупателей -- Q_d=180-1,5P, и они готовы покупать товар при ценах ниже 120 ден. ед. за тонну. Таким образом, суммарная функция спроса на товар А будет иметь вид:

При ценах от 0 до 80 ден.ед. : Q_d=380-4P

При ценах от 80 до 120 ден.ед. Q_d=180-1,5P

Чтобы определиться с равновесием достаточно выяснить будет ли новая равновесная цена выше или ниже 80 ден.ед. При цене 80 ден.ед. покупатели готовы купить 60 тонн товара, а продавцы готовы продать 40 тонн товара. Возникает дефицит, который ведет к повышению цены товара А. Новое равновесие находим из следующего равенства 180-1,5P=0,5P.

Итак, новое равновесие установится при P_e=90, Q_e=45. Выручка продавцов при этом со-ставит 4050 ден.ед.

Таким образом, выручка продавцов должна снизиться на -(4050/6000-1) \cdot 100 \% = 32,5 \%.

Ответ:

Выручка продавцов снизится на 32,5%.