Обозначим максимальную цену спроса за p, p > 6. Узнав эту цену, фирма, зная также, что точка (6;1000) лежит на кривой спроса, поймет, что спрос описывается уравнением P = p - \frac{p-6}{1000}Q. Используя данные о спросе, фирма выберет оптимальный объем производства:

MR = p - \frac{p-6}{500}Q = MC = 3 \Rightarrow Q^* = \frac{500(p-3)}{(p-6)}

Фирма выиграет от проведения исследования, если максимальная прибыль, которую она все-таки получит, узнав спрос, за вычетом расходов на исследование, будет больше текущей прибыли:

\frac{500(p-3)}{(p-6)} \left( p - \frac{(p-6)}{1000} \cdot \frac{500(p-3)}{(p-6)} - 3 \right) - 2009 - 1000 > 1000 \cdot 6 - 3 \cdot 1000 - 2009

\frac{500(p-3)^2}{2(p-6)} - 4000 > 0

250(p-3)^2 - 4000(p-6) > 0

p^2 - 6p + 9 - 16p + 96 > 0

(p-15) \cdot (p-7) > 0 \Rightarrow p \in (6;7) \cup (15; +\infty).

Ответ:

При p \in (6; 7) \cup (15; +\infty)

Примечание:

В этой задаче (впрочем, как и во многих других) алгебру можно немного упростить, применяя... геометрию! Из геометрической интерпретации прибыли (взятая на нужном отрезке площадь между MR и MC за вычетом постоянных издержек), сразу следует, что \pi = \frac{(p-3)Q^*}{2} - FC.
Интуитивно ответ правдоподобен: имеет смысл тратить деньги на исследование, если, узнав спрос, мы заработаем достаточно много сверх того, что и так имеем. Это возможно, только если в действительности спрос достаточно далек от того, при котором текущая точка (6;1000) и так является оптимальной. Значит, исследование принесет выгоду, если в действительности максимальная цена спроса будет достаточно далека от 9 (нетрудно проверить, что при максимальной цене спроса 9 оптимальным будет как раз продавать 1000 вешалок по цене 6).