Из обезьяны
В некоторой олимпиаде участвуют 200 школьников, каждый из которых принадлежит одному из двух типов: к старательным школьникам (A) или к ленивым школьникам (B). Каждый из школьников получает полезность от того, сколько и каких школьников участвуют в олимпиаде.
Каждый старательный школьник (A) получает 2 единицы полезности за каждого участвующего в олимпиаде старательного школьника (A) кроме себя, так как это мотивирует его ещё больше учиться, и ценность победы для него возрастает, и 1 единицу полезности за каждого ленивого школьника (B), ведь каждый школьник, который не ленится, увеличивает его шансы на победу в олимпиаде.
Каждый ленивый школьник (B) получает 2 единицы полезности за каждого ленивого школьника (B) кроме себя, так как каждый ленивый школьник увеличивает его шансы на победу, и теряет 1 единицу полезности за каждого старательного школьника (A), ведь старательный школьник уменьшает его шансы на победу в олимпиаде и заставляет ленивого школьника жалеть о том, что он не старается. Так как без стараний у школьника остаётся больше сил, каждый ленивый школьник дополнительно получает 101 единицу полезности.
После того как олимпиада прошла каждый из школьников размышляет над тем, не поменять ли ему стратегию. То есть старательный школьник (A) думает, не стать ли ему ленивым школьником (B) и наоборот. Для этого каждый из них сравнивает свою текущую полезность с полезностью в случае, если бы на этой олимпиаде он был бы другим типом школьника. Если старательный школьник становится ленивым, то его дополнительная полезность будет равна 81 вместо 101, так как он не будет знать, чем занять своё освободившееся время. Каждый школьник решает поменять свою стратегию только в том случае, если его полезность от смены стратегии при неизменных стратегиях других школьников будет строго больше.
Назовём состав участников олимпиады равновесным, если после олимпиады ни один из
школьников не хотел бы поменять свой тип.
1. Пусть в олимпиаде участвуют X старательных школьников. Найдите все возможные значения X, при которых состав участников олимпиады будет равновесным.
Старательный школьник получает полезность U_A=2(A-1)+B, если бы он стал ленивым, то его полезность имела бы вид U_{A\to B} = -(A-1) + 2B + 81.
Ленивый школьник получает полезность U_B=-A+2(B-1)+101, если бы он стал
старательным, то его полезность имела бы вид U_{B\to A}=2A+(B-1).
Тогда по условию A=X, а класс будет равновесным при A>0 и B>0, если:
\left\{ \begin{aligned} U_A &\ge U_{A\to B},\\ U_B &\ge U_{B\to A},\\ A+B &= 200 \end{aligned} \right. \;\Rightarrow\; \left\{ \begin{aligned} 2(X-1) + (200 - X) &\ge -(X-1) + 2(200 - X) + 81,\\ -\,X + 2(200 - X - 1) + 101 &\ge 2X + (200 - X - 1) \end{aligned} \right.
Имеем решение системы: 71\leq X\leq 75
Отдельно заметим, что если все школьники ленивые или все школьники списывающие, то класс тоже является равновесным. Для этого достаточно сравнить соответствующие полезности.
Итого ответ: X \in [71;75] \cup \{0,200\} (за правильный ответ принимается и ответ в предположении что школьники только целые и в предположении что школьники только целочисленные).
( 14 баллов)
2. Предположим, что организаторы олимпиады решили разбить всех участников на две лиги. В одной они оставили 120 человек, а в другой – 80 человек. Организаторы сами могут решать, сколько в какой лиге будет старательных школьников. Найдите такое минимальное суммарное количество старательных школьников, чтобы организаторы олимпиады могли распределить их по двум лигам так, чтобы после олимпиады все ленивые школьники решили стать старательными и все старательные решили остаться старательными. Полезность школьников будут считать не от всех школьников, а лишь от тех, которые участвуют с ними в одной лиге.
Чтобы все старательные школьники остались старательными необходимо, чтобы U_A\geq U_{A\to B}. Чтобы все ленивые школьники решили стать старательными U_B<U_{B\to A} (обратите внимание что знак строгий из условия)
Пусть в первой лиге и второй лиге по X_1 и X_2 старательных школьников, тогда условия в
терминах X_1 и X_2 имеют вид:
\left\{ \begin{aligned} 2(X_1-1) + (120 - X_1) &\ge -(X_1-1) + 2(120 - X_1) + 81 \quad (1)\\ -\,X_1 + 2(120 - X_1 - 1) + 101 &< 2X_1 + (120 - X_1 - 1) \quad (2) \end{aligned} \right.
\left\{ \begin{aligned} 2(X_2-1) + (80 - X_2) &\ge -(X_2-1) + 2(80 - X_2) + 81 \quad (3)\\ -\,X_2 + 2(80 - X_2 - 1) + 101 &< 2X_2 + (80 - X_2 - 1) \quad (4) \end{aligned} \right.
Имеем: X_1>55 и X_2>45.
Если в работе предполагались бесконечно делимые школьники, то далее верный ответ: X=X_1+X_2>100. Если же предполагались целочисленные школьники, то минимальной количество школьников в каждой лиге это X_1=56 и X_2=46, то есть минимальное количество старательных школьников 102.
( 12 баллов)
3. В условиях предыдущего пункта предположим, что число старательных школьников составляет 90 человек. Организаторы максимизируют число школьников, решивших после олимпиады быть старательными. Найдите максимальное суммарное число школьников, состоящее из числа школьников, которые после олимпиады примут решение стать старательными, и тех, кто решит остаться старательными.
Если в первой лиге старательных школьников меньше либо равно 50, то так как из (1) X_1\geq 51 и из (2) \ X_1>55, то в этом случае все участники перовой лиге решат стать ленивыми и максимальное количество старательных школьников будет не более 80. Если
же в первой лиге больше 50 старательных школьников, то во второй лиге старательных школьников не более 40, но так как из (3) \ X_2\geq 42 и из (4) \ X_2>45, все школьники второй лиге решат стать ленивыми и максимальное количество старательных школьников будет не более 120.
Если все старательные школьники будут участниками первой лиге, но максимизируемо число школьников как раз составит 120.
( 9 баллов)
4. В условиях предыдущих пунктов, то есть если изначально всего 90 старательных школьников из 200, одна олимпиада делится на две лиги по 120 и 80 человек. Найдите минимальное количество лет, которое должно пройти, чтобы все школьники решили стать старательными. Считайте, что каждый из 200 школьников участвует в олимпиаде каждый год, к ним не добавляется новых школьников, а в год проводится одна олимпиада, разбитая на 2 лиги.
Из (3) пункта нам нужно хотя бы 2 года, так как за год невозможно сделать всех старательными.
Из пункта (3) за первый год мы можем сделать 120 старательных школьников к концу первого года, а из пункта 2 имея 120 старательных школьников мы за год можем сделать всех старательными. Тогда сделать всех старательными за 2 года возможно.
( 5 балла)