Обозначим за x долю бедных в населении страны, а за y — их долю в доходе страны. Тогда коэффициент Джини равен

G = x - y = 0.5.

Пусть I — доход страны, а P — её население. Тогда среднедушевой доход бедных равен

Y_1 = \frac{yI}{xP},

а среднедушевой доход богатых —

Y_2 = \frac{(1 - y)I}{(1 - x)P}.

Отношение среднедушевых доходов равно

\frac{Y_2}{Y_1} = \frac{(1 - y)I}{(1 - x)P} \cdot \frac{xP}{yI} = \frac{(1 - y)x}{(1 - x)y}.

Поскольку x - y = 0.5, \, y = x - 0.5. Подставляя, получаем

\frac{Y_2}{Y_1} = \frac{1 - (x - 0.5)}{1 - x} \cdot \frac{x}{(x - 0.5)} = \frac{(3 - 2x)x}{(2x - 1)(1 - x)}.

Нам нужно найти минимальное значение этого выражения при x \in (0.5; 1), \, x > 0.5, (так как x - y > 0.5 ). Дальше можно решать несколькими способами.

Способ 1.

\frac{Y_2}{Y_1} = \frac{(3 - 2x)x}{(2x - 1)(1 - x)} = \frac{-2x^2 + 3x - 1 + 1}{-2x^2 + 3x - 1} = 1 + \frac{1}{-2x^2 + 3x - 1}.

Значение \frac{Y_2}{Y_1} минимально, когда значение -2x^2 + 3x - 1 максимально. Последнее выражение является квадратной функцией, ветви параболы направлены вниз. Значит, это выражение максимизируется в вершине, x^* = \frac{-b}{2a} = \frac{3}{2(-2)} = 0.75. Подставляя, получаем, что максимальное значение -2x^2 + 3x - 1 равно \frac{1}{8}, и значит, минимальное значение \frac{Y_2}{Y_1} равно

1 + \frac{1}{\frac{1}{8}} = 9.

Способ 2.

Минимальное значение \frac{(3 - 2x)x}{(2x - 1)(1 - x)} — это минимальное значение параметра a, при котором уравнение

\frac{(3 - 2x)x}{(2x - 1)(1 - x)} = a

имеет решение. Преобразуя, получаем уравнение

2(a - 1)x^2 - 3(a - 1)x + a = 0.

Поскольку при G > 0 среднедушевой доход богатых больше среднедушевого дохода бедных, a > 1. Значит, коэффициент при x^2 равен нулю, и это уравнение — квадратное. Оно имеет решение только тогда, когда дискриминант неотрицателен. Рассчитаем его:

D = 9(a - 1)^2 - 8a(a - 1) = (a - 1)(a - 9) \geq 0.

Таким образом, уравнение имеет решения при a \leq 1 и a \geq 9 . Поскольку a > 1, подходит только a \geq 9 ; минимальное значение a равно 9. Подставляя, получаем, что x = 0.75 \in (0.5; 1) , и значит, отношение доходов равно 9, действительно возможно. Следовательно, 9 и будет ответом.

Способ 3.

Рассмотрим функцию

f(x) = \frac{(3 - 2x)x}{(2x - 1)(1 - x)}

на интервале (1/2; 1). Рассчитаем f'(x).

После преобразований получаем, что

f'(x) = \frac{4x - 3}{(2x - 1)^2(1 - x)^2}.

Приравнивая производную к нулю, находим x^* = 0.75 \in (0.5; 1). Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума. Таким образом, минимальное значение f(0.75) = 9.

Доходы богатых и бедных отличаются минимумом в 9 раз.