Джини
В стране Сэси есть две группы населения — богатые и бедные, в каждой из которых доход распределен равномерно. Доход каждой из групп положителен. Известно, что коэффициент Джини в стране равен 0,5. В какое минимальное число раз могут отличаться доходы богатых и бедных в Сэсии?
Ответ
Обозначим за x долю бедных в населении страны, а за y — их долю в доходе страны. Тогда коэффициент Джини равен
G = x - y = 0.5.
Пусть I — доход страны, а P — её население. Тогда среднедушевой доход бедных равен
а среднедушевой доход богатых —
Отношение среднедушевых доходов равно
Поскольку . Подставляя, получаем
Нам нужно найти минимальное значение этого выражения при (так как x - y > 0.5 ). Дальше можно решать несколькими способами.
Способ 1.
Значение минимально, когда значение максимально. Последнее выражение является квадратной функцией, ветви параболы направлены вниз. Значит, это выражение максимизируется в вершине, . Подставляя, получаем, что максимальное значение равно , и значит, минимальное значение равно
Способ 2.
Минимальное значение — это минимальное значение параметра a, при котором уравнение
имеет решение. Преобразуя, получаем уравнение
Поскольку при G > 0 среднедушевой доход богатых больше среднедушевого дохода бедных, a > 1. Значит, коэффициент при равен нулю, и это уравнение — квадратное. Оно имеет решение только тогда, когда дискриминант неотрицателен. Рассчитаем его:
Таким образом, уравнение имеет решения при и . Поскольку a > 1, подходит только ; минимальное значение a равно 9. Подставляя, получаем, что , и значит, отношение доходов равно 9, действительно возможно. Следовательно, 9 и будет ответом.
Способ 3.
Рассмотрим функцию
на интервале (1/2; 1). Рассчитаем f'(x).
После преобразований получаем, что
Приравнивая производную к нулю, находим . Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума. Таким образом, минимальное значение f(0.75) = 9.
Доходы богатых и бедных отличаются минимумом в 9 раз.