Джини
В стране Сэси есть две группы населения — богатые и бедные, в каждой из которых доход распределен равномерно. Доход каждой из групп положителен. Известно, что коэффициент Джини в стране равен 0,5. В какое минимальное число раз могут отличаться доходы богатых и бедных в Сэсии?
Обозначим за x долю бедных в населении страны, а за y — их долю в доходе страны. Тогда коэффициент Джини равен
G = x - y = 0.5.
Пусть I — доход страны, а P — её население. Тогда среднедушевой доход бедных равен
Y_1 = \frac{yI}{xP},
а среднедушевой доход богатых —
Y_2 = \frac{(1 - y)I}{(1 - x)P}.
Отношение среднедушевых доходов равно
\frac{Y_2}{Y_1} = \frac{(1 - y)I}{(1 - x)P} \cdot \frac{xP}{yI} = \frac{(1 - y)x}{(1 - x)y}.
Поскольку x - y = 0.5, \, y = x - 0.5. Подставляя, получаем
\frac{Y_2}{Y_1} = \frac{1 - (x - 0.5)}{1 - x} \cdot \frac{x}{(x - 0.5)} = \frac{(3 - 2x)x}{(2x - 1)(1 - x)}.
Нам нужно найти минимальное значение этого выражения при x \in (0.5; 1), \, x > 0.5, (так как x - y > 0.5 ). Дальше можно решать несколькими способами.
Способ 1.
\frac{Y_2}{Y_1} = \frac{(3 - 2x)x}{(2x - 1)(1 - x)} = \frac{-2x^2 + 3x - 1 + 1}{-2x^2 + 3x - 1} = 1 + \frac{1}{-2x^2 + 3x - 1}.
Значение \frac{Y_2}{Y_1} минимально, когда значение -2x^2 + 3x - 1 максимально. Последнее выражение является квадратной функцией, ветви параболы направлены вниз. Значит, это выражение максимизируется в вершине, x^* = \frac{-b}{2a} = \frac{3}{2(-2)} = 0.75. Подставляя, получаем, что максимальное значение -2x^2 + 3x - 1 равно \frac{1}{8}, и значит, минимальное значение \frac{Y_2}{Y_1} равно
1 + \frac{1}{\frac{1}{8}} = 9.
Способ 2.
Минимальное значение \frac{(3 - 2x)x}{(2x - 1)(1 - x)} — это минимальное значение параметра a, при котором уравнение
\frac{(3 - 2x)x}{(2x - 1)(1 - x)} = a
имеет решение. Преобразуя, получаем уравнение
2(a - 1)x^2 - 3(a - 1)x + a = 0.
Поскольку при G > 0 среднедушевой доход богатых больше среднедушевого дохода бедных, a > 1. Значит, коэффициент при x^2 равен нулю, и это уравнение — квадратное. Оно имеет решение только тогда, когда дискриминант неотрицателен. Рассчитаем его:
D = 9(a - 1)^2 - 8a(a - 1) = (a - 1)(a - 9) \geq 0.
Таким образом, уравнение имеет решения при a \leq 1 и a \geq 9 . Поскольку a > 1, подходит только a \geq 9 ; минимальное значение a равно 9. Подставляя, получаем, что x = 0.75 \in (0.5; 1) , и значит, отношение доходов равно 9, действительно возможно. Следовательно, 9 и будет ответом.
Способ 3.
Рассмотрим функцию
f(x) = \frac{(3 - 2x)x}{(2x - 1)(1 - x)}
на интервале (1/2; 1). Рассчитаем f'(x).
После преобразований получаем, что
f'(x) = \frac{4x - 3}{(2x - 1)^2(1 - x)^2}.
Приравнивая производную к нулю, находим x^* = 0.75 \in (0.5; 1). Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума. Таким образом, минимальное значение f(0.75) = 9.
Доходы богатых и бедных отличаются минимумом в 9 раз.