а) Исходя из соотношения товаров в комплектах, имеем y_1 = 5x_1 и y_2 = 5x_2. Подставим в уравнения КПВ и преобразуем:

5x_1 = 280 - 2x_1, \\ 7x_1 = 280.

5x_2 = 252 - \frac{x_2^2}{7}, \\ \frac{x_2^2}{7} + 5x_2 - 252 = 0.

Из первого уравнения получаем x_1^* = 40, в Линии потребляется 40 комплектов.

Рис 3.1. Рисунок с графиками КПВ стран Линия и Квадратия.

Из второго уравнения.

x_2 = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 4 \cdot 252 / 7}}{2/7} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2/7} = \frac{-5 \pm 13}{2/7}

Нас интересует положительный корень x_2^* = 8/(2/7) = 28. Это и есть количество комплектов, потребляемых в Квадратии.

Общее количество комплектов в двух странах равно 40 + 28 = 68. Графики КПВ (Рис. 3.1) для полного решения необязательны.

Ответ: 68 комплектов.

б) Способ 1 (не требует сложения КПВ).

Составим систему ограничений, которая будет учитывать и КПВ обеих стран, и необходимость производить комплекты, и преобразуем её так, чтобы выразить x_1 через x_2 :

y_1 = 280 - 2x_1, \\ y_2 = 252 - \frac{x_2^2}{7}, \\ y_1 + y_2 = 5(x_1 + x_2), \\ 5(x_1 + x_2) = 280 - 2x_1 + 252 - \frac{x_2^2}{7},

x_1 = \frac{1}{49}x_2^2 - \frac{5}{7}x_2 + 76.

Количество комплектов, произведённое в странах, равно количеству произведённого товара X, то есть x_1 + x_2. Его и нужно максимизировать при указанных выше ограничениях. Запишем выражение для этого количества:

x_1 + x_2 = \left( \frac{-1}{49}x_2^2 - \frac{5}{7}x_2 + 76 \right) + x_2 = \frac{-1}{49}x_2^2 - \frac{5}{7}x_2 + 76.

Это парабола с ветвями вниз, её максимум достигается при x_2 = (-2/7) / (-2/49) = 7.

Отсюда получаем:

x_1 = \frac{-1}{49} \cdot 7^2 - \frac{5}{7} \cdot 7 + 76 = -1 + 5 + 76 = 70.

Оба объема производства X меньше максимально возможных в своих странах, поэтому найденные точки действительно лежат на страновых КПВ.

Общее количество комплектов равно общему количеству товара X и составляет 70 + 7 = 77. Это на 9 комплектов больше, чем в пункте а).

Способ 2. Построим суммарную КПВ.

Альтернативная стоимость товара X в Линее всегда равна 2, а в Квадратии является переменной величиной, равной модулю производной y_2 по x_2 : \frac{x_2^2}{7}. При значениях x_2 < 7 альтернативная стоимость в Квадратии меньше, товар X нужно производить там. При больших x_2 производство каждой единицы X в Квадратии становится дороже, чем в Линее, поэтому нужно переключиться на производство X в Линее, а вернуться в Квадратию тогда, когда производственные возможности в Линее будут исчерпаны.

Таким образом, уравнение общей КПВ имеет вид:

Y = \begin{cases} (280 - 2 \cdot 0) + \left[ 252 - \frac{X^2}{7} \right], X < 7 \quad \text{(в Линее производится только Y)} \\ (280 - 2(X - 7)) + \left[ 252 - \frac{7^2}{7} \right], 7 < X < 147 \quad \text{(X и Y производятся везде)} \\ (280 - 2 \cdot 140) + \left[ 252 - \frac{(X - 140)^2}{7} \right], X > 147 \quad \text{(весь Y производится в Квадратии)} \end{cases}

В каждом уравнении выражение в круглых скобках — количество единиц товара Y, произведённое в Линее, а в квадратных скобках — в Квадратии. Выражения записаны так, чтобы было видно, какое значение X подставляется в уравнение КПВ каждой страны.

Рис. 3.2. Суммарная КПВ двух стран(жирная линия)

Подставим условие на соотношение товаров Y = 5X в комплекте в каждый участок, при этом упростим правые части:

\begin{cases} 5X = 532 - \frac{X^2}{7}, & \text{если } X < 7 \\ 5X = 539 - 2X, & \text{если } 7 < X < 147 \\ 5X = 252 - \frac{(X - 140)^2}{7}, & \text{если } X > 147 \end{cases}

Поскольку КПВ — убывающая функция, а Y = 5X — возрастающая, у них может быть не более одного пересечения. Решим самое простое уравнение — второе, получим X = 77, что попадает в интервал (7; 147). Можно (но не обязательно) убедиться, что решение первого уравнения X \approx 46 на соответствующий участок не попадает, а третье уравнение и вовсе не имеет корней (это видно на Рис. 3.2, где "недостающие" части парабол нарисованы светлыми линиями). Значит, X = 77 и есть оптимальное производство товара X и оптимальное количество комплектов. Общее количество увеличится по сравнению с пунктом а) на 9.

Сложить КПВ можно и другим (более длинным) способом, не прибегая к сравнению альтернативных издержек. По определению, уравнение суммарной КПВ Y(X) показывает максимальный суммарный уровень производства товара Y при данном суммарном производстве товара X. Значит, Y(X) можно получить, решив оптимизационную задачу:

Y = y_1 + y_2 \rightarrow \max

\begin{cases} y_1 = 280 - 2x_1, \\ y_2 = 252 - \frac{x_2^2}{7}, \\ x_1 + x_2 = X, \\ x_1 \in [0; 140], \\ x_2 \in [0; 42]. \end{cases}

Подставляя выражения для y_1 и y_2, получаем задачу:

280 - 2x_1 + 252 - \frac{x_2^2}{7} \rightarrow \max

\begin{cases} x_1 + x_2 = X, \\ x_1 \in [0; 140], \\ x_2 \in [0; 42]. \end{cases}

Затем, выражая, например, x_1 через x_2 и X, получаем задачу:

280 - 2(X - x_2) + 252 - \frac{x_2^2}{7} \rightarrow \max

\begin{cases} X - x_2 \in [0; 140], \\ x_2 \in [0; 42]. \end{cases}

Ее решение x_2^*(X) будет достигаться либо в вершине параболы x_2^* = 7, либо на одной из границ в зависимости от X, а именно:

x_2^*(X) = \begin{cases} X, & X < 7; \\ 7, & 7 < X < 147; \\ X - 140, & 147 < X < 182. \end{cases}

Подставляя x_2^*(X) в целевую функцию, находим уравнение КПВ Y(X), состоящее из трех участков.

Ответ: 77 комплектов, на 9 больше, чем в пункте а).