Итак, сначала решим задачу в дискретном случае: когда можно совершать финансовые операции лишь раз в год.

Пусть мы находимся в моменте t. Нам нужно решить: продать бочку сейчас, положив деньги в банк, или же держать бочку в течение ещё одного года. В первом случае наше богатство за год вырастет в 1,2 раза, а во втором – вот во сколько:

\frac{M \cdot e^{\sqrt{t+1} - \sqrt{t}}}{M \cdot e^{\sqrt{t}}} = e^{\sqrt{t+1} - \sqrt{t}}

Т.к. e>1, то это выражение тем больше, чем больше показатель степени, т.е. \sqrt{t+1} - \sqrt{t}. Убедитесь сами (с помощью производной) в том, что эта разность убывает по t. Она, конечно, всегда больше нуля, но с ростом t достигает сколь угодно малых значений (а вместе с ней, стало быть, достигает сколь угодно малых значений и e^{\sqrt{t+1} - \sqrt{t}}. Докажите это.

Достаточно показать, что уравнение \sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}} - \sqrt{t} = a разрешимо для любого (достаточно маленького) a.

t = \frac{(1-a^2)^2}{4a^2}

Итак, рано или поздно наступит момент, когда e^{\sqrt{t+1} - \sqrt{t}} станет меньше 1,2, то есть будет выгоднее держать деньги в банке, чем в бочке. Так в какой момент стоит переложить деньги в банк?

1,2 = e^{ln1,2}. Подставив a = ln1,2 в предыдущее уравнение, получаем t \approx 7,03. Значит, при t=7 (в начале 8-го года) ещё будет выгодно держать бочку, а при t=8 уже выгоднее будет продать её, т.к. банк даст больший прирост. Заметим, что даже если бы мы могли купить бочку обратно, нам было бы не выгодно это делать (убедитесь в этом сами).

(Непрерывный случай, способ без дисконтирования)

Теперь решим задачу в непрерывном случае: когда мы можем продать бочку и положить деньги в банк в любой момент.

Пусть мы, не продав пока бочку, пришли в момент t_0. Рассмотрим какой-нибудь момент t \geq t_0. Если продержать бочку до момента t, то наше богатство в момент t составит Me^{\sqrt{t}} ; если же продать бочку в момент t_0, то в момент t мы будем иметь:

Me^{\sqrt{t_0}} \cdot 1,2^{t-t_0}

Продавать ли бочку в момент t_0 ? В дискретном случае мы бы взяли в качестве t момент, следующий за t_0, и сравнили величины богатства в момент t от разных способов (продавать/не продавать в t_0 ), но в непрерывном случае понятие "следующего момента" уже бессмысленно. Какой бы, пусть даже достаточно близкий к t_0, момент t мы ни выбрали, сравнение в нём богатства от разных способов не позволит сделать правильный выбор. Например, мы в результате такого сравнения получили, что лучше продать в t_0, чем держать до t. Но вполне возможно, что существует такой промежуточный момент между t_0 и t, что окажется ещё выгоднее продать бочку именно в этот момент.

Все такие варианты перебрать принципиально невозможно, и нам нужен инструмент помощнее.

К счастью, функции f_1(t) = Me^{\sqrt{t}} и f_2(t) = Me^{\sqrt{t_0}} \cdot 1,2^{t-t_0} дифференцируемы в точке t_0, и при небольших отклонениях t от t_0 их график сливается со своей касательной в точке t_0, т.е. с графиком линейной функции f_i(t_0) + f'_i(t_0) \cdot (t - t_0), где i \in \{1, 2\}. Из формулы касательной ясно, что поскольку f_1(t_0) = f_2(t_0), то при любом достаточно близком к t_0 значении t больше окажется та из двух функций, что имеет большую производную в точке t_0. Чему бы ни было равно t_0, если f'_1(t_0) > f'_2(t_0), то выгоднее в момент t_0 держать бочку, если же f'_1(t_0) \leq f'_2(t_0), то выгоднее в этот момент иметь деньги в банке. При каких значениях t_0 f'_1(t_0) > f'_2(t_0) ?

Найдя производные функций f_1(t) и f_2(t) и сравнив их значения в точке , получаем, что при t_0 < \frac{1}{(2\ln1,2)^2} выгоднее держать деньги в бочке, а при t_0 \geq \frac{1}{(2\ln1,2)^2} выгоднее держать деньги в банке. Соответственно, Пушкину стоит продать бочку в момент \frac{1}{(2\ln1,2)^2} \approx 7,52, а после этого держать деньги в банке.

В какой бы момент t мы ни собрались съесть своё богатство X(t), мы хотели бы в этот момент обозреть такую его траекторию (когда оно было в форме бочки, а когда – в форме денег в банке), чтобы X(t) оказалось максимальным (среди всех возможных траекторий). Рассмотрим величину Y(t) = \frac{X(t)}{1,2^t}. Максимизировать её (выбирая траекторию) – всё равно что максимизировать X(t), т.к. множитель \frac{1}{1,2^t} не зависит от траектории.

Как будет изменяться величина Y(t) после того, как мы положим деньги в банк в момент t_0 ?

Никак. Навсегда останется такой, как в момент открытия вклада: Me^{\sqrt{t_0}} \cdot 1,2^{t-t_0} = \text{const}. Поэтому нам надо подержать бочку до того момента, когда Y(t) станет максимальным, а потом с чистой совестью продать её и положить деньги в банк. Так при каком t Y(t) максимально?

Пока мы держим бочку, X(t) = M e^{\sqrt{t}}. Соответственно, Y(t) максимально при t = \frac{1}{(2\ln1,2)^2} \approx 7,52.

Примечание:

Автор приведённого решения - Григорий Хацевич.

Исходная версия задачи взята со Всероссийской олимпиады по основам предпринимательской деятельности и потребительских знаний 2003 года.