Пушкин, бочка вина и совет Дантеса
Однажды Александр Сергеевич Пушкин получил в наследство от Арины Родионовны бочку вина. Это вино он может продать на ежегодно проводимой ярмарке, причём лишь всю бочку сразу, а в разлив это вино никто не купит. Дантес, в то время еще друг Пушкина, посоветовал ему сразу же продать это вино. И если Пушкин последует его совету, то выручит M рублей. В те времена было очень распространено ростовщичество; заработанные деньги Александр Сергеевич мог отдать ростовщику под 20% годовых (проценты начисляются ежегодно). Причем не существует риска невозврата денег и процентов. Но Пушкин знает, что с течением времени ценность вина увеличивается, а следовательно, возрастает и ожидаемый доход от его продажи. Известна функция ожидаемой выручки: \dot{M} \cdot e^{\sqrt{t}}, где t - количество лет, через которое вино будет продано. Стоит ли Пушкину последовать совету Дантеса? Если нет, вычислите, через сколько лет ему будет выгодно продать бочку вина, если алкоголь ему совершенно противопоказан. Издержки хранения равны нулю, и никаких дополнительных затрат Пушкин не несет.
Дополнительное задание.
Пусть ярмарка проходит круглогодично, и бочку можно продать в любой момент. Кроме того, банк тоже открыт в любой день и принимает вклады на любой срок: положив на счёт сумму X, через t лет (t может быть дробным) можно снять X \cdot 1,2^t. В какой момент стоит продать бочку?
Итак, сначала решим задачу в дискретном случае: когда можно совершать финансовые операции лишь раз в год.
Пусть мы находимся в моменте t. Нам нужно решить: продать бочку сейчас, положив деньги в банк, или же держать бочку в течение ещё одного года. В первом случае наше богатство за год вырастет в 1,2 раза, а во втором – вот во сколько:
\frac{M \cdot e^{\sqrt{t+1} - \sqrt{t}}}{M \cdot e^{\sqrt{t}}} = e^{\sqrt{t+1} - \sqrt{t}}
Т.к. e>1, то это выражение тем больше, чем больше показатель степени, т.е. \sqrt{t+1} - \sqrt{t}. Убедитесь сами (с помощью производной) в том, что эта разность убывает по t. Она, конечно, всегда больше нуля, но с ростом t достигает сколь угодно малых значений (а вместе с ней, стало быть, достигает сколь угодно малых значений и e^{\sqrt{t+1} - \sqrt{t}}. Докажите это.
Достаточно показать, что уравнение \sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}} - \sqrt{t} = a разрешимо для любого (достаточно маленького) a.
t = \frac{(1-a^2)^2}{4a^2}
Итак, рано или поздно наступит момент, когда e^{\sqrt{t+1} - \sqrt{t}} станет меньше 1,2, то есть будет выгоднее держать деньги в банке, чем в бочке. Так в какой момент стоит переложить деньги в банк?
1,2 = e^{ln1,2}. Подставив a = ln1,2 в предыдущее уравнение, получаем t \approx 7,03. Значит, при t=7 (в начале 8-го года) ещё будет выгодно держать бочку, а при t=8 уже выгоднее будет продать её, т.к. банк даст больший прирост. Заметим, что даже если бы мы могли купить бочку обратно, нам было бы не выгодно это делать (убедитесь в этом сами).
(Непрерывный случай, способ без дисконтирования)
Теперь решим задачу в непрерывном случае: когда мы можем продать бочку и положить деньги в банк в любой момент.
Пусть мы, не продав пока бочку, пришли в момент t_0. Рассмотрим какой-нибудь момент t \geq t_0. Если продержать бочку до момента t, то наше богатство в момент t составит Me^{\sqrt{t}} ; если же продать бочку в момент t_0, то в момент t мы будем иметь:
Me^{\sqrt{t_0}} \cdot 1,2^{t-t_0}
Продавать ли бочку в момент t_0 ? В дискретном случае мы бы взяли в качестве t момент, следующий за t_0, и сравнили величины богатства в момент t от разных способов (продавать/не продавать в t_0 ), но в непрерывном случае понятие "следующего момента" уже бессмысленно. Какой бы, пусть даже достаточно близкий к t_0, момент t мы ни выбрали, сравнение в нём богатства от разных способов не позволит сделать правильный выбор. Например, мы в результате такого сравнения получили, что лучше продать в t_0, чем держать до t. Но вполне возможно, что существует такой промежуточный момент между t_0 и t, что окажется ещё выгоднее продать бочку именно в этот момент.
Все такие варианты перебрать принципиально невозможно, и нам нужен инструмент помощнее.
К счастью, функции f_1(t) = Me^{\sqrt{t}} и f_2(t) = Me^{\sqrt{t_0}} \cdot 1,2^{t-t_0} дифференцируемы в точке t_0, и при небольших отклонениях t от t_0 их график сливается со своей касательной в точке t_0, т.е. с графиком линейной функции f_i(t_0) + f'_i(t_0) \cdot (t - t_0), где i \in \{1, 2\}. Из формулы касательной ясно, что поскольку f_1(t_0) = f_2(t_0), то при любом достаточно близком к t_0 значении t больше окажется та из двух функций, что имеет большую производную в точке t_0. Чему бы ни было равно t_0, если f'_1(t_0) > f'_2(t_0), то выгоднее в момент t_0 держать бочку, если же f'_1(t_0) \leq f'_2(t_0), то выгоднее в этот момент иметь деньги в банке. При каких значениях t_0 f'_1(t_0) > f'_2(t_0) ?
Найдя производные функций f_1(t) и f_2(t) и сравнив их значения в точке , получаем, что при t_0 < \frac{1}{(2\ln1,2)^2} выгоднее держать деньги в бочке, а при t_0 \geq \frac{1}{(2\ln1,2)^2} выгоднее держать деньги в банке. Соответственно, Пушкину стоит продать бочку в момент \frac{1}{(2\ln1,2)^2} \approx 7,52, а после этого держать деньги в банке.
В какой бы момент t мы ни собрались съесть своё богатство X(t), мы хотели бы в этот момент обозреть такую его траекторию (когда оно было в форме бочки, а когда – в форме денег в банке), чтобы X(t) оказалось максимальным (среди всех возможных траекторий). Рассмотрим величину Y(t) = \frac{X(t)}{1,2^t}. Максимизировать её (выбирая траекторию) – всё равно что максимизировать X(t), т.к. множитель \frac{1}{1,2^t} не зависит от траектории.
Как будет изменяться величина Y(t) после того, как мы положим деньги в банк в момент t_0 ?
Никак. Навсегда останется такой, как в момент открытия вклада: Me^{\sqrt{t_0}} \cdot 1,2^{t-t_0} = \text{const}. Поэтому нам надо подержать бочку до того момента, когда Y(t) станет максимальным, а потом с чистой совестью продать её и положить деньги в банк. Так при каком t Y(t) максимально?
Пока мы держим бочку, X(t) = M e^{\sqrt{t}}. Соответственно, Y(t) максимально при t = \frac{1}{(2\ln1,2)^2} \approx 7,52.
Примечание:
Автор приведённого решения - Григорий Хацевич.
Исходная версия задачи взята со Всероссийской олимпиады по основам предпринимательской деятельности и потребительских знаний 2003 года.