Отдача и эластичность
Рассмотрим фирму, технология которой описывается производственной функцией, где - фактор производства с номером .
а) Докажите, что условие возрастания среднего продукта по i-ому фактору эквивалентно тому, что выпуск эластичен по этому фактору.
Ответ
Средний продукт по фактору :
.
Условие возрастания:
Условие равносильно:
Но - эластичность выпуска по фактору . Следовательно, эквивалентно .
б) Докажите, что если технология обладает возрастающим средним продуктом по всем факторам, то сумма эластичностей выпуска по всем факторам больше .
Ответ
Из (а): . Суммируем:
.
в) Верно ли, что при выполнении условий задачи и пропорциональном увеличении всех факторов в раз, выпуск растет строго больше, чем в раз, где - количество факторов, по которым средний продукт является возрастающим?
Ответ
Запишем условие возрастания среднего продукта по каждому фактору:
,
что эквивалентно:
Будем последовательно увеличивать величину используемого фактора в , начиная с и заканчивая - ым фактором.
Шаг : Увеличиваем в раз:
.
Шаг : Увеличиваем в раз (уже при увеличенном ):
.
Но из шага , поэтому: .
Шаг : Увеличиваем в раз:
Но из шага , поэтому:
Продолжая процесс, на шаге :
С учетом неубывания производственной функции:
Получаем искомое неравенство:
г) Пусть технология обладает положительной отдачей от масштаба. Следует ли из этого, что существует хотя бы один фактор, по которому средний продукт возрастает? Если ваш ответ "да", то строго докажите утверждение. Если "нет" - приведите контрпример.
Ответ
Утверждение неверно. Контрпример: . Производственная функция имеет положительную отдачу от масштаба, так как для любых верно неравенство . Заметим, что для всех , значит убывают.
д) Предположим, фирма максимизирует прибыль на конкурентных рынках продукции и факторов производства, а технология является выпуклой. Цена продукции равна , а цены факторов составляют . Докажите, что в точке оптимума отношение эластичностей выпуска по любым двум факторам равно отношению долей затрат на эти факторы:
,
где - эластичность выпуска по - ому фактору.
Ответ
В задаче минимизации издержек при фиксированном условие оптимума -- это касание изокванты и изокосты. Предельная норма технического замещения ( ) фактора фактором , равная
Если изокоста описывается равенством , то угол наклона изокосты в координатах равен . В оптимуме наклоны изокванты и изокосты совпадают:
Что и требовалось доказать.