a) Поиск равновесной цены – 5 баллов.

Авиакомпании невыгодно назначать любую цену выше $700, так как в этом случае никто не будет пользоваться ее услугами.

При цене до $300 ее услугами будут пользоваться все потенциальные клиенты, т.е. при любой цене из этого диапазона издержки одинаковы, а выручка при неизменном объеме продаж растет с увеличением цены. Таким образом, следует рассмотреть максимальную цену из диапазона. При цене в $300 авиакомпания получит в среднем $200 прибыли(300-100=200) с каждого потенциального пассажира. Аналогично при цене свыше $300 и до $700 услугами компании будут пользоваться только бизнесмены, и прибыль растет с повышением цены, т.е. следует рассматривать лишь цену в $700. При такой цене компания получит в среднем $300 прибыли с каждого потенциального пассажира: (700-100)/2=300. Поэтому авиакомпания установит цену в $700 и будет перевозить только бизнесменов.

б) Расчет цен авиабилетов и сравнительный анализ прибыли авиакомпании при продаже только билетов с открытой датой и при продаже как билетов с открытой датой, так и билетов с фиксированной датой – 7 баллов.

Прибыль авиакомпании может возрасти только, если она будет продавать и билеты с фиксированной датой.

Однако если билеты с открытой датой будут продаваться по цене в $700, а билеты с фиксированной датой по цене в $200, то все пассажиры будут покупать только дешевые билеты. Туристы откажутся от покупки билетов с открытой датой, так как они слишком дороги. Бизнесмены предпочтут билеты с фиксированной датой, так как при этом получат большую чистую выгоду: от покупки билетов с открытой датой бизнесмены ничего не выигрывают, так как покупают их по цене, соответствующей их оценке, а при покупке билетов с фиксированной датой их чистая выгода составляет 250-200=50. В результате средняя прибыль авиакомпании упадет с $300 до $100.

Если сделать билет с открытой датой дешевле, по крайней мере на $50, то бизнесмены будут покупать билеты с открытой датой. Авиакомпания увеличит прибыль с одного проданного билета в среднем на $25=(100-50)/2.

в) Анализ последствий запрета для бизнесменов ( 1 балл), для туристов ( 1 балл).

Запрет дискриминации не отразится на благосостоянии туристов, так как при дискриминации они покупают билеты по цене, равной их максимальной оценке, а потому имеют нулевую чистую выгоду. Однако запрет дискриминации приведет к ухудшению благосостояния бизнесменов, которые вынуждены будут платить за билет на $50 больше.

г) Постановка задачи – 4 балла.

Как показано при анализе пункта (а) в каждом диапазоне цен максимизация прибыли достигается при самой высокой цене.

При цене билета, равной p_i=300+20(i-1), билет будут приобретать только клиенты категорий i\leq j\leq n. При этом прибыль авиакомпании составит

\pi(i) = (200 + 20(i - 1))(n - i + 1) = 20(9 + i)(n - i + 1) = 20(9(n + 1) + i(n - 8) - i^2).

Решения задачи без учета проблемы целочисленности – 1 балл.

Эта функция достигает максимума при i = \frac{n - 8}{2}, возрастает при i < \frac{n - 8}{2}, и убывает при i > \frac{n - 8}{2} .

Поскольку i\geq 1, то при n\leq 10 оптимум достигается при i=1, откуда p=300.

Анализ проблемы целочисленности и итоговый ответ – 4 балла.

При n>10, если n - четно, то оптимальная цена составит

p = 300 + 20(i - 1) = 300 + 10((n - 8) - 2) = 200 + 10n.

Если n - нечетно, то нужно сравнить два варианта: p = 300 + 20(i - 1) = 300 + 10((n - 8) - 2) = 200 + 10n. и i_2 = 0.5(n - 1) - 4 = 0.5n - 4.5. Соответственно цены составят p_1=210+10n и p_2=190+10n, а прибыль будет равна \pi_1 = (110 + 10n)(0.5n + 4.5) = 5(11 + n)(n + 9) \quad \text{и} \quad \pi_2 = (90 + 10n)(0.5n + 5.5) = 5(9 + n)(n + 11) = \pi_1.

Таким образом, при n>10, если n - нечетно, максимум прибыли достигается при двух вариантах цен:

p_1=210+10n и p_2=190+10n.