1 решение (алгебраическое).

Выразим P_{domestic} через a;b;c;d приравняв функции спроса и предложения.

( a - bP = c + dP \Rightarrow P_{domestic} = \frac{a-c}{b+d} .

Весь внутренний дефицит при цене, большей чем P_{foreign} будет покрываться иностранными производителями, импортирующими товар в страну.

Найдём объём импорта товаров при P > P_{foreign} Q_{Im} = Q_d - Q_s = a - bP - c - dP.

Первоначальный объём импорта равняется Q_{Im}^1 = a - c - (b+d) \cdot P_{foreign}.

При введении налога в размере t единиц цена импорта вырастет на t единиц при каждом объёме импорта, т.е. P'_{foreign} = P_{foreign} + t.

Объём дефицита при цене, равной P'_{foreign} = Q_{деф} = Q_{Im}^2 = a - c - (b+d) (P_{foreign} + t).

Величина налоговых поступлений T = t \cdot Q_{Im} = at - ct - t(b+d)(P_{foreign} + t). Цель государства - максимизировать налоговые поступления.

T = t \cdot Q_{Im} = at - ct - t(b+d)(P_{foreign}+t) \rightarrow \max\limits_{t} T = t \cdot Q_{Im} = at - ct - t(b+d)(P_{foreign}+t).

T' = a - c - (b + d)(P_{foreign} + 2t) = 0 \Rightarrow t = \left(\frac{a-c}{b+d} - P_{foreign}\right)/2.

Заметим, что \frac{a-c}{b+d} = P_{domestic}, откуда t = \frac{P_{domestic} - P_{foreign}}{2}.

2 решение (экономное).

Вспомнив тот факт, что максимальная площадь вписанного в треугольник прямоугольника, одна сторона которого совпадает с основанием, достигается в случае, если противоположная сторона прямоугольника является средней линией данного треугольника, получаем высоту h = P_{domestic} - P_{foreign}. Следовательно налог, равный половине высоты, равняется t = \frac{P_{domestic} - P_{foreign}}{2}.

Ответ:

t = \frac{P_{domestic} - P_{foreign}}{2}

Примечание:

Товарищи экономисты могут доказать факт про максимальную площадь вписанного в треугольник прямоугольника разделив его на два равных прямоугольных треугольника высотой из вершины и рассмотрев каждый из этих прямоугольных треугольников как график спроса, максимум выручки которого достигается в точке единичной эластичности.