Импортный оброк
На внутреннем рынке чая спрос и предложение задаются следующими функциями:
Q_d = a - bP \quad ; \quad Q_s = c + dP, \quad c > 0
Равновесная цена данного рынка P_{domestic} .
Цена чая на мировом рынке P_{foreign} . Известно, что P_{foreign} < P_{domestic} . Если внутренний рынок чая открыт для импорта, то какую следует государству установить импортную пошлину в расчёте на единицу товара, если оно преследует цель максимизации налоговых поступлений?
В решении учитывайте что введение пошлины не повлияет на мировую цену на чай.
1 решение (алгебраическое).
Выразим P_{domestic} через a;b;c;d приравняв функции спроса и предложения.
( a - bP = c + dP \Rightarrow P_{domestic} = \frac{a-c}{b+d} .
Весь внутренний дефицит при цене, большей чем P_{foreign} будет покрываться иностранными производителями, импортирующими товар в страну.
Найдём объём импорта товаров при P > P_{foreign} Q_{Im} = Q_d - Q_s = a - bP - c - dP.
Первоначальный объём импорта равняется Q_{Im}^1 = a - c - (b+d) \cdot P_{foreign}.
При введении налога в размере t единиц цена импорта вырастет на t единиц при каждом объёме импорта, т.е. P'_{foreign} = P_{foreign} + t.
Объём дефицита при цене, равной P'_{foreign} = Q_{деф} = Q_{Im}^2 = a - c - (b+d) (P_{foreign} + t).
Величина налоговых поступлений T = t \cdot Q_{Im} = at - ct - t(b+d)(P_{foreign} + t). Цель государства - максимизировать налоговые поступления.
T = t \cdot Q_{Im} = at - ct - t(b+d)(P_{foreign}+t) \rightarrow \max\limits_{t} T = t \cdot Q_{Im} = at - ct - t(b+d)(P_{foreign}+t).
T' = a - c - (b + d)(P_{foreign} + 2t) = 0 \Rightarrow t = \left(\frac{a-c}{b+d} - P_{foreign}\right)/2.
Заметим, что \frac{a-c}{b+d} = P_{domestic}, откуда t = \frac{P_{domestic} - P_{foreign}}{2}.
2 решение (экономное).
Вспомнив тот факт, что максимальная площадь вписанного в треугольник прямоугольника, одна сторона которого совпадает с основанием, достигается в случае, если противоположная сторона прямоугольника является средней линией данного треугольника, получаем высоту h = P_{domestic} - P_{foreign}. Следовательно налог, равный половине высоты, равняется t = \frac{P_{domestic} - P_{foreign}}{2}.
Ответ:
t = \frac{P_{domestic} - P_{foreign}}{2}
Примечание:
Товарищи экономисты могут доказать факт про максимальную площадь вписанного в треугольник прямоугольника разделив его на два равных прямоугольных треугольника высотой из вершины и рассмотрев каждый из этих прямоугольных треугольников как график спроса, максимум выручки которого достигается в точке единичной эластичности.