Морковное производство
Страна Морковия имеет 100 тонн универсального ресурса (моркови) для производства морковного сока и морковного пюре. Производство налажено в двух регионах, в каждом из которых есть два завода. Президент страны, мистер Морковкин, принимает решение только о том, сколько тонн моркови отправить на производство в каждом из регионов – остальные решения (сколько ресурсов на производство отправить на первый завод, а сколько – на второй) принимаются региональными властями. Важно, что поставки моркови президент может осуществлять только на один из двух заводов в регионе. Распределение внутри региона между заводами определяется региональными властями, проблема лишь в том, что при перевозке x тонн между заводами моркови 0.5x тонн становятся непригодными для дальнейшего использования. При поставке моркови в регионы морковь не портится. Рассмотрим первый регион. На первом заводе из тонны моркови можно произвести 1 тонну сока, или 0.5 тонн пюре, или любую комбинацию этих благ – альтернативные издержки постоянны. Президент доставляет морковь в первый регион на этот завод. На втором заводе из тонны моркови можно изготовить 1 тонну пюре, 0.5 тонн сока или любую комбинацию этих товаров – альтернативные издержки тоже постоянны. Во втором регионе производственные технологии заводов аналогичны, однако президент поставляет морковь на завод, где из тонны моркови можно изготовить 1 тонну пюре, 0.5 тонн сока или любую комбинацию этих товаров.
(а) [7 баллов] Выведите аналитически и изобразите КПВ страны Морковии.
(б) [4 баллов] Пусть пюре и морковный сок потребляются в пропорции 1:2 (одна тонна пюре вместе с двумя тоннами сока). Сколько пюре и сока потребили бы жители Морковии, если бы мистер Морковкин мог приказывать регионам, сколько моркови использовать на каждом из заводов? Он максимизирует количество потребленных комплектов из пюре и сока в стране. Свой ответ объясните.
(в) [5 баллов] Пюре и морковный сок все так же потребляются в пропорции 1:2. Сколько тонн пюре и сколько тонн моркови будет изготовлено, если мистер Морковкин максимизирует потребление комплектов из сока и пюре в стране? При этом он не может выбирать сколько пюре и сока будет произведено на каждом из заводов в каждом регионе, это делают региональные власти каждого региона после поставки моркови в регион. Региональные власти максимизируют количество комплектов сока и пюре в своем регионе. Свой ответ объясните.
(г) [9 баллов] У Морковкина появилась возможность захватить в соседней богатой стране регион, который тоже занимается производством морковного пюре и сока. Производственные возможности этого региона таковы, что из одной тонны моркови можно произвести y тонн сока или y тонн пюре (или любую их комбинацию). Проблема в том, что это возможно только при использовании местной моркови, а чтобы захватить территории с M тоннами моркови, Морковкину нужно потратить на войну M тонн моркови. Помогите Морковкину – есть ли смысл захватывать соседние территории? Обоснуйте свой ответ и приведите интуитивное объяснение.
Введём два обозначения, которые будут использоваться в решении: s – вес сока в тоннах, p – вес пюре в тоннах. M 1 – тонн моркови отправлено в первый регион, M 2 – тонн моркови отправлено во второй регион, \alpha – сколько тонн моркови отправил первый регион на второй завод, \beta – сколько тонн моркови отправил второй регион на второй завод. Под вторым заводом подразумевается завод, на который морковь не была доставлена Морковкиным.
(а) [7 баллов] КПВ каждого из заводов в первом регионе будет представлено уравнениями
Первый завод: s + 2p = M1 − \alpha
Второй завод: 2s + p = 0.5\alpha, где \alpha – количество тонн моркови, отправленных на второй завод. Это значит, что максимум в первом регионе может быть произведено 0.5M1 тонн пюре или M1 − 0.75\alpha тонн сока. В случае второго региона ситуация симметрична: КПВ каждого из заводов во втором регионе будет представлено уравнениями
Первый завод: 2s + p = M2 − \beta
Второй завод: s + 2p = 0.5\beta
Каждая из КПВ выглядит так
«Складывая» КПВ, опираясь на альтернативные издержки на каждом из заводов, можно заметить, что суммарная КПВ (если \alpha, \beta > 0) лежит под КПВ завода, на который доставляется морковь, а на одном из участков, который соответствует заводу, на который привозят морковь, совпадают. Суммарные КПВ регионов имеют вид:
Это значит, что КПВ каждого из регионов совпадает с КПВ завода, на который доставляется морковь. Тогда КПВ Морковии аналитически имеет вид:
p = \begin{cases} \frac{M_1}{2} + M_2 - 0.5s, & s \in [0; M_1] \\ 2M_1 + M_2 - 2s, & s \in (M_1, M_1 + \frac{M_2}{2}] \end{cases}
а графически
(б) [4 баллов] Если бы Морковкин мог приказывать, сколько продуктов можно произвести на каждом из заводов, то он бы приказал первому региону производить только сок, а второму региону – только пюре. Во-первых, можно показать, что при каждых \alpha, \beta Морковкину выгоднее приказывать производить все на том заводе, на который он доставляет морковь – это так потому, что каждая из КПВ региона при задействовании второго завода лежит не выше КПВ первого завода. Значит, Морковкину нужно выбирать, сколько сока и моркови производить на первом заводе в первом регионе и на первом заводе во втором регионе. Во-вторых, поскольку альтернативные издержки производства сока ниже в первом регионе, а альтернативные издержки производства пюре ниже во втором регионе, Морковкину выгодно приказать производить в первом регионе только сок, а во втором регионе только пюре. Значит, в стране будет:
Значит, чтобы максимизировать количество наборов, морковке нужно учесть, что количество сока и пюре должно соотноситься как 2p = s, что максимизирует количество потребленных наборов. Значит:
2p = s = M_1 = 2M_2 = 100 \Rightarrow M_2 = \frac{100}{3}, \quad M_1 = \frac{200}{3}.
Получается, в стране будет потреблено p = \frac{100}{3} тонн пюре и \frac{200}{3} тонн сока.
(b) [5 баллов] Теперь Морковкин не может приказывать, сколько тонн морковки отправить на каждый из заводов, а регионы сами максимизируют потребление сока и пюре. Тогда сок и пюре потребляется в соответствии с указанной в условии пропорцией, то есть s = 2p.
Тогда в первом регионе произведут:
s_1 = 2p_1 = M_1 - 2p_1 \Rightarrow s_1 = \frac{M_1}{2}, \quad p_1 = \frac{M_1}{4}.
Во втором регионе произведут:
s_2 = 2p_2 = \frac{M_2}{2} \Rightarrow p_2 = \frac{M_2}{5}, \quad s_2 = \frac{2M_2}{5}.
Суммарно производит наборов:
\frac{M_1}{4} + \frac{M_2}{5} = \frac{100 - M_2}{4} + \frac{M_2}{5} = 25 - 0.25M_2 + 0.2M_2 = 25 - 0.05M_2 \rightarrow \max_{M_2}.
Суммарное количество наборов убивает по M2, значит, максимум наборов будет при M2 = 0. Тогда:
M_1 = 100, \quad p_1 + p_2 = 25, \quad s_1 + s_2 = \frac{M_1}{2} = 50.
Изобразим на графиках потребление в каждом из регионов, если количество сока s = 2p:
(г) [9 баллов] У нас есть вариант получить третий регион, в котором мы из M3 тонн нашей моркови мы можем произвести y тонн сока или y тонн пюре (то есть отправить M3 на захват и получить M3 моркови). Рассмотрим два случая: Морковкин может приказать, сколько произвести на каждом из заводов и не может.
- Морковкин может приказывать, сколько моркови задействовать на каждом из заводов. В таком случае у Морковкина есть 3 региона, КПВ в которых выглядят как:
Вспомним, что имея 2 региона, Морковкин весь сок производил только в первом регионе, а всё пюре только во втором регионе. В третьем (новом) регионе можно произвести или yM3 сока или yM3 пюре. Во-первых, заметим, что если y < 1, нам невыгодно задействовать новый регион в производстве и, значит, захватывать его – мы можем получить больше наборов если воспользуемся двумя старыми регионами. Если y = 1, нам безразлично. Осталось рассмотреть случай, когда y > 1. У нас есть 3 варианта: используем первый и третий регионы (в котором теперь можно произвести больше пюре и сока), второй и третий регионы, или только третий.
- Используем первый и третий регионы. Тогда Морковкину выгодно производить весь сок в первом регионе, а пюре — в третьем, потому что при том же количестве затраченной моркови в первом регионе M1 мы получим меньшее количество сока. Тогда:
s = 2p = M_1 = 2yM_3 \Rightarrow M_3 = \frac{100}{2y + 1} \Rightarrow p = \frac{100y}{2y + 1}.
То есть мы потребим \frac{100}{2y + 1} наборов.
- Используем второй и третий регионы. Тогда Морковкину выгодно производить весь сок в третьем регионе, а пюре — во втором, потому что при том же количестве затраченной моркови во втором регионе M2 мы получим меньшее количество сока. Тогда:
s = 2p = M_2 = yM_3 \Rightarrow M_2 = \frac{100y}{2 + y} \Rightarrow p = \frac{100y}{2 + y}.
То есть мы потребим \frac{100y}{2 + y} наборов, что больше, чем \frac{100}{2y + 1}.
А \frac{100y}{2 + y} > \frac{100}{2y + 1} :
\frac{100y}{2 + y} > \frac{100}{2y + 1} \Rightarrow 2y + 1 > 2y + 3y > 1.
- Используем только третий регион. Тогда M_3 = 100, M_1 = M_2 = 0. Учитывая, что КПВ в третьем регионе равно p = yM_3, получаем:
s = 2p = yM_3 - p \Rightarrow p = \frac{yM_3}{3} = \frac{100y}{3}.
То есть мы потребим \frac{100}{3} наборов, в силу y > 1, больше, чем потребляли изначально. Осталось сравнить это с использованием второго и третьего региона:
s = 2p = M_1 \Rightarrow M_1 = \frac{M_1}{4} \quad \text{(количество наборов из первого региона).}
Во втором регионе будет потреблено:
s = 2p = \frac{M_2}{2} - p \Rightarrow p = \frac{M_2}{2} - 2p.
В третьем регионе будет потреблено:
s = 2p = yM_3 - p \Rightarrow p = \frac{yM_3}{3} = \frac{100y}{3}.
То есть мы потребим \frac{100}{3} наборов, в силу y > 1, больше, чем мы потребляли изначально. Осталось сравнить это с использованием второго и третьего региона:
Тогда суммарно будет потреблено наборов:
\frac{M_1}{4} + \frac{M_2}{5} + \frac{yM_3}{3} = \frac{100 - M_2 - M_3}{4} + \frac{M_2}{5} + \frac{yM_3}{3} = 25 - 0.05M_2 + M_3.
Во-первых, суммарное количество наборов всегда убивает по M2, значит, M2 = 0.
Во-вторых, если y < \frac{3}{4}, то суммарное количество наборов убивает по M3, значит, M3 = 0, а M1 = 100. Если y = \frac{3}{4}, суммарное количество наборов не зависит от M3, а если y > \frac{3}{4}, то суммарное количество наборов возрастает по M3, и тогда M3 = 100.
Значит, Морковкин захватит новый регион, не имея возможности приказывать регионам, сколько и на каком заводе производить, если y > \frac{3}{4}.
