Цена и качество
Как известно, регулирование цены монополиста может увеличить общественное благосостояние. Однако низкая цена может снижать стимулы фирмы к производству качественного товара. В этих условиях оптимальная для регулятора цена может быть не такой, как в простейшей модели.
Рассмотрим фирму-монополиста, спрос на продукцию которой описывается уравнением , где - качество товара. Если при цене спрос удовлетворяется полностью, при данной функции спроса излишек потребителя равен . Издержки производства задаются уравнением .
Если фирма безразлична между несколькими оптимальными объемами производства, она выбирает наибольший из них.
а). ( балла) Докажите, что в отсутствие регулирования оптимальное для монополиста качество товара равно (для этого необязательно использовать производную, но можно и использовать).
б). ( балла) Допустим, государство устанавливает директивно цену так, чтобы максимизировать общественное благосостояние, то есть сумму излишка потребителя и прибыли фирмы. При этом государство может следить за тем, чтобы монополист не менял качество товара по сравнению с пунктом а). Объём производства фирма выбирает сама. Найдите оптимальную для государства цену.
в). ( балла) Допустим, государство не может контролировать качество товара; оно назначает цену, а затем монополист выбирает уровень качества и объём производства. Найдите цену, которую государство должно установить для максимизации общественного благосостояния.
Ответ
а) Прибыль фирмы равна . Промаксимизируем прибыль по цене при фиксированном качестве : относительно цены функция прибыли квадратичная, ветви параболы направлены вниз, а значит, оптимальная цена соответствует вершине, которая находится посередине между корнями: . Значит, при данном качестве максимальная прибыль фирмы равна .
Докажем, что функция максимальна при . . Заметим, что в силу неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом , а значит, . При этом при верно . Значит, данная функция действительно максимальна при .
Тот же результат можно получить и с помощью производной: . Производная равна нулю при и , но она меняет знак с плюса на минус только при , так что точкой локального максимума является . Поскольку на концах отрезка функция равна нулю, а при она положительна, в этой точке действительно достигается максимум функции прибыли на отрезке .
б). При качестве функция прибыли фирмы, как функция от цены, имеет вид . При этом если государство назначит цену ниже , фирма не будет производить, а если цена будет в точности , фирма будет безразлична между всеми объемами , и произведет максимальный объем по условию.
Таким образом, общественное благосостояние, как функция от цены, будет иметь вид при , и в противном случае. При это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке , при этом благосостояние положительно, так что это действительно точка максимума среди всех цен .
в). При директивной цене прибыль фирмы есть . Фирма будет максимизировать эту функцию по качеству . (При более высоком качестве фирма не захочет производить. Поскольку имеет смысл рассматривать только , ограничение выполнено.) Относительно эта функция квадратичная, ветви параболы направлены вниз. Оптимум находится в вершине .
Общественное благосостояние равно . Подставляя функцию реакции фирмы и упрощая, получаем, что благосостояние равно . Эта функция квадратичная, ветви параболы направлены вниз, значит оптимальная цена равна .