а) Прибыль фирмы равна \pi = Q(p)(p - AC) = \alpha(48 - 2p)(p - 4\alpha). Промаксимизируем прибыль по цене при фиксированном качестве \alpha : относительно цены функция прибыли квадратичная, ветви параболы направлены вниз, а значит, оптимальная цена соответствует вершине, которая находится посередине между корнями: p^*=(24+4\alpha)/2=12+2\alpha. Значит, при данном качестве \alpha максимальная прибыль фирмы равна \pi(\alpha)=8\alpha(6-\alpha)^2.

Докажем, что функция \pi(\alpha) максимальна при \alpha=2. \pi(\alpha) = 8\alpha(6 - \alpha)^2 = 4 \cdot 2\alpha(6 - \alpha)(6 - \alpha). Заметим, что в силу неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом 2\alpha(6 - \alpha)(6 - \alpha) \leq \left(\frac{2\alpha + (6 - \alpha) + (6 - \alpha)}{3}\right)^3 = 64, а значит, 8\alpha(6-\alpha)^2\leq256. При этом при \alpha=2 верно 8\alpha(6-\alpha)^2=256. Значит, данная функция действительно максимальна при \alpha=2.

Тот же результат можно получить и с помощью производной: \pi'(\alpha) = 8\left((6 - \alpha)^2 - 2(6 - \alpha)\alpha\right) = 8(6 - \alpha)(6 - 3\alpha). Производная равна нулю при \alpha=2 и \alpha=6, но она меняет знак с плюса на минус только при \alpha=2, так что точкой локального максимума является \alpha=2. Поскольку на концах отрезка функция равна нулю, а при \alpha=2 она положительна, в этой точке действительно достигается максимум функции прибыли на отрезке [0; 6].

б). При качестве \alpha=2 функция прибыли фирмы, как функция от цены, имеет вид \pi(p)=4(24-p)(p-8). При этом если государство назначит цену ниже 8, фирма не будет производить, а если цена будет в точности 8, фирма будет безразлична между всеми объемами [0; 32], и произведет максимальный объем по условию.

Таким образом, общественное благосостояние, как функция от цены, будет иметь вид W(p) = 2 \cdot (24 - p)^2 + 4(24 - p)(p - 8) = (24 - p)(48 - 2p + 4p - 32) = (24 - p)(16 + 2p) при p\geq 8, и W(p)=0 в противном случае. При p\geq 8 это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке p^*=(24+(-8))/2=8, при этом благосостояние положительно, так что это действительно точка максимума среди всех цен p\geq0.

в). При директивной цене p прибыль фирмы есть \alpha(48-2p)(p-4\alpha). Фирма будет максимизировать эту функцию по качеству \alpha\in[0; p/4]. (При более высоком качестве фирма не захочет производить. Поскольку имеет смысл рассматривать только p<24, ограничение \alpha\leq 6 выполнено.) Относительно \alpha эта функция квадратичная, ветви параболы направлены вниз. Оптимум находится в вершине \alpha^*=p/8.

Общественное благосостояние равно \alpha(24 - p)^2 + \alpha(48 - 2p)(p - 4\alpha). Подставляя функцию реакции фирмы \alpha^*=p/8 и упрощая, получаем, что благосостояние равно \frac{p}{8}(24 - p)(24 - p + 2p - \frac{8p}{8}) = 3p(24 - p). Эта функция квадратичная, ветви параболы направлены вниз, значит оптимальная цена равна 12.