МЭ 2021 10-11 задача 7
Музыкальная группа Lopt даёт концерты на рынке совершенной конкуренции. Функция рыночного спроса на концерты имеет вид Q = 50 − 0,5P, где Q – количество концертов, а P – цена билета на концерт. Функция затрат группы Lopt на организацию концертов имеет вид TC = Q3 − 10Q2 + bQ. Найдите, при каком значении параметра b группа Lopt будет давать ненулевое количество концертов в состоянии долгосрочного равновесия.
В долгосрочном периоде фирма на рынке совершенной конкуренции получает нулевую экономическую прибыль (следовательно, P = AC), а также устанавливает объём выпуска, руководствуясь правилом P = MC.
P = 100 − 2Q.
AC = \frac{TC}{Q} = \frac{Q^3 - 10Q^2 + bQ}{Q} = Q^2 - 10Q + b
MC = TC'_Q = 3Q^2 - 20Q + b
Получаем систему уравнений:
\begin{cases} 100 - 2Q = Q^2 - 10Q + b \\ 100 - 2Q = 3Q^2 - 20Q + b \end{cases}
Вычтем из второго уравнения первое:
0 = 2Q^2 - 10Q
Q_1 = 0, \; Q_2 = 5
Так как по условию Q должно быть больше нуля, нам подходит только Q2 = 5. Найдём b:
b = 100 - 2Q - (Q^2 - 10Q) = 100 + 8 \cdot 5 - 25 = 115