(а) Мы знаем, что фирма О выбирает свой выпуск, наблюдая цену за литр воды, которую перед этим назначила фирма В. Значит, сначала нам нужно понять, сколько литров воды готова закупить фирма О (назовем эту величину r ) при каждой цене за литр этой воды (назовем эту величину w ). Для начала нам стоит понять, сколько килограммов законсервированных оливок фирма может произвести из r литров воды и s килограммов оливок. Заметим, что из 1 кг оливок и 1 кг воды можно изготовить только 1 кг законсервированных оливок. Это значит, что для оптимального использования ресурсов нам нужно r=s, то есть объем воды в литрах должен быть равен весу оливок в килограммах. Предположим, что это не так, и мы используем в производстве 1 кг оливок и 1.5 кг воды. Это значит, что мы производим 1 кг законсервированных оливок, и можем сократить объем закупаемой воды для производства, что сократит издержки, но оставит неизменным объем итогового продукта и величину выручки. Как следствие, мы производим q=r=s килограммов законсервированных оливок. Перейдем к постановке оптимизационной задачи фирмы О.

Её прибыль имеет вид:

\pi O = (200 − q)q − 40q − wq = (160 − w)q − q^2.

Функция прибыли является параболой с ветвями вниз относительно q. Значит, максимум прибыли достигается в вершине, где:

q* = −b / 2a = −(160 − w) / −2 = (160 − w) / 2.

Так, мы получили спрос фирмы О на воду от фирмы В. Следующим шагом будет понять, в каком объеме понадобятся чистая вода, уксус и специи для изготовления литра воды-консерванта. Из условия мы знаем, что для 1 литра воды требуется 1 литр чистой воды, 10 грамм уксуса и 10 грамм специй. Значит, издержки фирмы В имеют вид:

TC = 5 \cdot \text{литров чистой воды} + 2 \cdot 10 \cdot \text{граммов уксуса} + 3 \cdot 10 \cdot \text{граммов специй}.

Выражая все через v – объем изготовленой воды – получаем:

TC(v) = 5v + 2v + 3v = 10v.

Осталось записать прибыль фирмы В, которая сама выбирает цену за литр воды:

\pi_V = (160 - 2v)v - 10v = 150v - 2v^2,,

где 160 − 2v – обратная функция спроса на воду-консервант. Видим, что прибыль имеет вид квадратичной параболы с ветвями вниз, значит, максимум в вершине: v^* = -\frac{b}{2a} = \frac{150}{2} = 75, \quad X = 85, \quad q^* = 160 - w. Значит, цена килограмма консервированных оливок равна p = 325 / 2 = 162.5.

Мы знаем спрос на рынке воды-консерванта — он равен v = 80 - 0.5w. Нам осталось понять, какая цена на неё установится в результате функционирования двух фирм, принимающих решение одновременно. Рассмотрим фирму B, которая продаёт v_1 литров воды; тогда как фирма K продаёт v_2 литров воды:

\pi_V = (160 - 2v_1 - 2v_2)v_1 - 10v_1 = (150 - 2v_2)v_1 - 2v_1^2.

Это квадратная парабола с ветвями вниз относительно v_1, значит, максимум в вершине:

v_1 = \frac{-150 + 2v_2}{-2 \cdot 2} = \frac{75 - v_2}{2}.

Аналогично решаем задачу для фирмы K, которая ничем не отличается от фирмы B и получает оптимальное v_2 в зависимости от v_1 :

v_2 = \frac{75 - v_1}{2}.

Поскольку фирмы принимают решение одновременно, для нахождения равновесных значений v_1, v_2 нам необходимо решить следующую систему:

\begin{cases} v_1 = \frac{75 - v_2}{2} \\ v_2 = \frac{75 - v_1}{2} \end{cases}

Таким образом, фирма O производит q = v_1 + v_2 = 50 законсервированных оливок и продаёт их по цене 150 рублей за килограмм.

в) Запишем максимизационную задачу фирмы О, сказав, что фирма О производит q1 килограммов законсервированных оливок, а фирма Б – q₂:

Это квадратная парабола с ветвями вниз, максимум в вершине:

\pi_O = (200 - q_1 - q_2)q_1 - 40q_1 - w = (160 - q_2 - w)q_1 - q_1^2 \rightarrow \max_{q_1, q_2 \geq 0}

Аналогично решаем максимизационную задачу фирмы B, которая ничем не отличается от фирмы O, и получаем:

q_2 = \frac{160 - q_1 - w}{2}.

Поскольку фирмы принимают решение одновременно, для нахождения решения нужно решить систему:

\begin{cases} q_1 = \frac{160 - q_2 - w}{2} \\ q_2 = \frac{160 - q_1 - w}{2} \end{cases}

Таким образом, спрос на воду-консервант равен:

q = q_1 + q_2 = 2 \cdot \frac{2}{3}(160 - w).

Выражая отсюда, получаем:

w = 160 - \frac{2}{3} \cdot 160 = 160 - \frac{320}{3} = \frac{480}{3} - v.

Осталось решить задачу фирмы B:

\pi_V = (160 - 2v_2) v_2 - 10v_2 = 150v_2 - \frac{3}{2} v_2^2 \rightarrow \max_{v_2 \geq 0}.

Это квадратная парабола с ветвями вниз, максимум в вершине:

v^* = \frac{150}{3} = 50 \quad \text{и} \quad q = q_1 + q_2 = 50.

Таким образом, фирмы O и B производят по 25 законсервированных оливок и продают их по цене 150 рублей за килограмм.

(г) Поскольку в пунктах (б) и (в) не отличается цена на рынке законсервированных оливок, нетрудно сделать вывод, что излишек потребителей не будет отличаться, поскольку для каждого q он равен q^2. Дополнительно можно убедиться, что сумма прибылей фирмы не отличается. Рассмотрим пункт (б):

\pi_O + \pi_V + \pi_K = (160 - w)q - q^2 + (150 - 2v_2)v_1 - 10v_1 = 100 - 50 - 25 + (150 - 2 \cdot 25)25 - 2 \cdot 25^2 = 5000.

Рассмотрим пункт (в):

\pi_O + \pi_V + \pi_B = (160 - q_2 - w)q_1 - q_1^2 + (160 - q_1 - w)q_2 - q_2^2 + 150v - \frac{3}{2}v^2.

Таким образом:

\pi_O + \pi_V + \pi_B = (160 - q_2 - w)q_1 - q_1^2 + (160 - q_1 - w)q_2 - q_2^2 + 150v - \frac{3}{2}v^2

= (160 - 25 - 85) \cdot 25 - 25^2 + (160 - 25 - 85) \cdot 25 - 25^2 + 150 \cdot 50 - \frac{3}{2} \cdot 50^2=5000

Действительно, в обоих случаях сумма прибылей фирм равна 5000. Это наталкивает на вывод о том, что в случае пункта (б) фирма O, будучи монополистом, выиграла от олигополии на рынке ресурса (консервированной воды), а также воспользовалась своей монопольной властью на рынке конечного товара, и первое нивелировало эффект монополии на потребителей. В случае пункта (в) предложила обратную ситуацию. Фирма B могла воспользоваться рыночной властью на рынке ресурса (воды), тогда как на рынке конечного товара имела место олигополистическая конкуренция. Так, эффект от последнего нивелировал эффект монополии на рынке ресурсов на потребителей.