Поставки оливок
На рынке оливок в стране Ф действует фирма монополист О. Для производства одного килограмма законсервированных оливок ей требуется один литр воды, в которой уже разбавлен консервант, и килограмм оливок. При цене рублей за килограмм консервированных оливок потребители готовы купить килограмм законсервированных оливок. Обычные оливки продаются на совершенно конкурентном рынке за 40 рублей за килограмм. Воду для изготовления можно приобрести только у одной фирмы – В. Для того, чтобы произвести один литр такой воды, фирмы В требуется ровно 1 литр чистой воды, цена которой постоянная и равна 5 рублям за литр, 10 грамм уксуса, который продается за 20 рублей за 100 грамм, и 10 грамм специй, которые продаются по цене 30 рублей за 100 грамм. Воду, уксус и специи можно покупать в любом количестве.
(а) [10 баллов] Чему равна цена килограмма консервированных оливок, которая установится на этом рынке, если сначала фирма В объявляет цену на воду с консервантом, а потом фирма О выбирает свой выпуск?
(б) [5 баллов] Предположим, на рынке воды для консервирования оливок появляется вторая фирма с аналогичными характеристиками. Назовём её К. Фирмы В и К принимают решение об объеме продаваемой воды одновременно, а фирма О, продающая консервированные оливки, может покупать воду у обеих фирм. Сначала решение принимают фирмы В и К, а потом фирма О. Какая тогда установится цена за килограмм консервированных оливок?
(в) [10 баллов] Предположим, что вторая фирма появляется не на рынке воды для консервирования, а на рынке консервированных оливок. Назовём её Б и скажем, что характеристики у неё такие же, как у фирмы О, а решение о том, сколько килограммов оливок продавать, они принимают одновременно, после объявлении цены на воду фирмой В. Чему будет равна цена за килограмм консервированных оливок?
(г) [5 баллов] Сравните общественное благосостояние в пунктах (б) и (в). Объясните, почему могут наблюдаться различия, если они есть?
(а) Мы знаем, что фирма О выбирает свой выпуск, наблюдая цену за литр воды, которую перед этим назначила фирма В. Значит, сначала нам нужно понять, сколько литров воды готова закупить фирма О (назовем эту величину ) при каждой цене за литр этой воды (назовем эту величину ). Для начала нам стоит понять, сколько килограммов законсервированных оливок фирма может произвести из литров воды и килограммов оливок. Заметим, что из 1 кг оливок и 1 кг воды можно изготовить только 1 кг законсервированных оливок. Это значит, что для оптимального использования ресурсов нам нужно , то есть объем воды в литрах должен быть равен весу оливок в килограммах. Предположим, что это не так, и мы используем в производстве 1 кг оливок и 1.5 кг воды. Это значит, что мы производим 1 кг законсервированных оливок, и можем сократить объем закупаемой воды для производства, что сократит издержки, но оставит неизменным объем итогового продукта и величину выручки. Как следствие, мы производим килограммов законсервированных оливок. Перейдем к постановке оптимизационной задачи фирмы О.
Её прибыль имеет вид:
Функция прибыли является параболой с ветвями вниз относительно . Значит, максимум прибыли достигается в вершине, где:
q* = −b / 2a = −(160 − w) / −2 = (160 − w) / 2.
Так, мы получили спрос фирмы О на воду от фирмы В. Следующим шагом будет понять, в каком объеме понадобятся чистая вода, уксус и специи для изготовления литра воды-консерванта. Из условия мы знаем, что для 1 литра воды требуется 1 литр чистой воды, 10 грамм уксуса и 10 грамм специй. Значит, издержки фирмы В имеют вид:
Выражая все через v – объем изготовленой воды – получаем:
Осталось записать прибыль фирмы В, которая сама выбирает цену за литр воды:
,
где 160 − 2v – обратная функция спроса на воду-консервант. Видим, что прибыль имеет вид квадратичной параболы с ветвями вниз, значит, максимум в вершине: Значит, цена килограмма консервированных оливок равна p = 325 / 2 = 162.5.
Мы знаем спрос на рынке воды-консерванта — он равен . Нам осталось понять, какая цена на неё установится в результате функционирования двух фирм, принимающих решение одновременно. Рассмотрим фирму B, которая продаёт литров воды; тогда как фирма K продаёт литров воды:
Это квадратная парабола с ветвями вниз относительно , значит, максимум в вершине:
Аналогично решаем задачу для фирмы K, которая ничем не отличается от фирмы B и получает оптимальное в зависимости от :
Поскольку фирмы принимают решение одновременно, для нахождения равновесных значений нам необходимо решить следующую систему:
Таким образом, фирма O производит законсервированных оливок и продаёт их по цене 150 рублей за килограмм.
в) Запишем максимизационную задачу фирмы О, сказав, что фирма О производит q1 килограммов законсервированных оливок, а фирма Б – q2:
Это квадратная парабола с ветвями вниз, максимум в вершине:
Аналогично решаем максимизационную задачу фирмы B, которая ничем не отличается от фирмы O, и получаем:
.
Поскольку фирмы принимают решение одновременно, для нахождения решения нужно решить систему:
Таким образом, спрос на воду-консервант равен:
Выражая отсюда, получаем:
Осталось решить задачу фирмы B:
Это квадратная парабола с ветвями вниз, максимум в вершине:
Таким образом, фирмы O и B производят по 25 законсервированных оливок и продают их по цене 150 рублей за килограмм.
(г) Поскольку в пунктах (б) и (в) не отличается цена на рынке законсервированных оливок, нетрудно сделать вывод, что излишек потребителей не будет отличаться, поскольку для каждого он равен . Дополнительно можно убедиться, что сумма прибылей фирмы не отличается. Рассмотрим пункт (б):
Рассмотрим пункт (в):
Таким образом:
Действительно, в обоих случаях сумма прибылей фирм равна 5000. Это наталкивает на вывод о том, что в случае пункта (б) фирма O, будучи монополистом, выиграла от олигополии на рынке ресурса (консервированной воды), а также воспользовалась своей монопольной властью на рынке конечного товара, и первое нивелировало эффект монополии на потребителей. В случае пункта (в) предложила обратную ситуацию. Фирма B могла воспользоваться рыночной властью на рынке ресурса (воды), тогда как на рынке конечного товара имела место олигополистическая конкуренция. Так, эффект от последнего нивелировал эффект монополии на рынке ресурсов на потребителей.