1. (10 баллов за пункт 1)

Всего в деревне 100 смурфов, которые могут в любой пропорции поделить обязанности. Чтобы собрать b кг ягод, нужно 4b^2 смурфов. Чтобы собрать n кг орехов, нужно n^2 смурфов. Если все смурфы заняты сбором ягод или орехов, то: x_b + x_n = 100 (1 балл)

x_b = 4b^2; \quad x_n = n^2 (3 балла)

Тогда уравнение КПВ имеет вид 4b^2 + n^2 = 100. (3 балла)

b_{max} = 5 \text{ кг ягод} \\ n_{max} = 10 \text{ кг орехов}

КПВ похожа на четверть эллипса. (3 балла при указании точек пересечений с осями и подписывании осей)

2. (10 баллов за пункт 2)

При таких предпочтениях у смурфов есть строгая пропорция потребления. Ягоды и орехи являются совершенными комплементами с пропорцией b^* = n^* - 5 в оптимуме. (3 балла за верную пропорцию) Найдём пересечение КПВ и "линии наборов оптимальных для потребления:

\begin{cases} 4b^2 + n^2 = 100 \\ b = n - 5 \end{cases}

\Rightarrow 4(n - 5)^2 + n^2 = 100 \Rightarrow 5n^2 = 40n, n^* = 8, b^* = 3 (2 балла за оптимальное количество собранных ягод и орехов)

При этом для сбора ягод потребуется 36 смурфов, а для сбора орехов 64 смурфа (2 балла за оптимальное распределение смурфов)

3. (a) 25 баллов за пункт 3)

(18 баллов за 3(a) - 3(c))

Рынок ягод и орехов совершенно конкурентен, поэтому цена орехов p_n постоянна. Поскольку цены постоянны, их соотношение \frac{p_n}{p_b} постоянно и равно пропорции объема орехов на ягоды (то есть альтернативным издержкам единицы орехов в внешнем рынке).

Так как p_b = 1, "внешние" альтернативные издержки единиц орехов в ягодах (то есть отношение предельных издержек производства) AI_{W}(1n) = \frac{MC_n}{MC_b} = \frac{p_n}{p_b} = p )

(3 балла за обоснованное нахождение внешних альтернативных издержек/пропорции обмена благ на внешнем рынке)

По условию задачи в любой точке альтернативные издержки производства единиц орехов (в ягодах) равны AI(1n) = \frac{n}{4b}, а в точке оптимума n^* = 6; b^* = 4. Следовательно, альтернативные издержки производства оптимальной единицы орехов равны AI(1n^*) = \frac{6}{4 \cdot \frac{2}{25 - n^*/4}}

Заметим, что альтернативные издержки производства единицы орехов возрастают, а "внешние" альтернативные издержки (соотношение рыночных цен) постоянны, то в точке оптимального выпуска альтернативные издержки внутренние производства совпадают с внешними альтернативными издержками, то есть AI_{W}(n) = AI_{вн.}(n). (3 балла за обоснование касания КПВ и КТВ)

Тогда \frac{3}{8} = p, следовательно p_n = \frac{3}{8} (2 балла за нахождение цены орехов)

(b) Стоимость собранных ягод и орехов: 6 \times \frac{3}{8} + 4 \times 1 = 6,25 (1 балл за определение стоимости набора)

Точка P — это производственный оптимум деревни Смурфеево остается такой же, как и в пункте 2. Её координаты известны из условия, выше показано, как может быть интерпретирована информация о данной точке (альтернативный вариант — построение линии уровня для соотношений рыночных цен и нахождение наиболее высокой линейной, которая будет являться кривой торговых возможностей). В точке P равны альтернативные издержки производства единицы орехов AI_n и соотношение рыночных цен орехов и ягод, которое равно p.

КТВ — это линия, проходящая через точку спецификации с углом наклона p = \frac{3}{8}.

Зная стоимость собранных ягод и орехов в точке P и цены за единицу ягод и орехов, можно записать уравнение КТВ (альтернативно можно было бы получить координаты одной из точек пересечения с осями, исходя из возможности продать все собранные в точке P ягоды или орехи).

(d) (3 балла за пункт (d))

Предпочтения Смурфов не изменились b^* = n^* - 5.

Теперь все доступные наборы ограничены КТВ деревни.

\frac{3}{8} n + 1 \times b = 6,25

Найдём оптимальный набор потребления Смурфов при тор-

говле:

\begin{cases} n^* = \frac{90}{11}; \\ b^* = \frac{35}{11}. \end{cases}

(3 балла за нахождение оптимума)

(e) (4 балла за пункт (e))

Смурфы импортируют орехи (1 балл) и экспортируют ягоды (1 балл), т.к. они производят 6кг орехов и 4кг ягод, но не потребляют больше орехов \left(\frac{90}{11}\right) и меньше ягод \left(\frac{35}{11}\right).

Импорт орехов равен:

\frac{90}{11} - 6 = \frac{24}{11} \text{ (кг)} \quad (1 \text{ балл})

Экспорт ягод равен:

4 - \frac{35}{11} = \frac{9}{11} \text{ (кг)} \quad (1 \text{ балл})