Смурф-торговля
В деревне Смурфеево живут 100 смурфов (смурфы – бесконечно делимые существа), которые занимаются сбором ягод и орехов. Количество собранных ягод и орехов зависит от того, как смурфы распределяют обязанности между собой. Если x_b смурфов займутся сбором ягод, то они соберут b = 0.5\sqrt{x_b} килограммов ягод; если x_n смурфов пойдут собирать орехи, то будет собрано n = \sqrt{x_n} килограммов орехов. Смурфы всегда стремятся иметь как можно больше орехов при каждом возможном количестве ягод.
1) Запишите уравнение кривой производственных возможностей для деревни Смурфеево и постройте график КПВ (на горизонтальной оси отметьте количество орехов).
2) Жители Смурфеево любят потреблять орехи и ягоды в определённой пропорции, их суммарные предпочтения описываются функцией полезности:
U = \min(n - 5; b) = \begin{cases} n - 5, & \text{если } n - 5 < b \\ b, & \text{если } n - 5 \geq b \end{cases}
a. Сколько смурфов будут заниматься сбором ягод, а сколько – орехов?
b. Какое количество ягод и орехов они смогут собрать, максимизируя полезность?
3) Деревня смурфов начинает торговать с соседними поселениями, при этом предпочтения жителей Смурфеево остаются такими же, как и в пункте 2). Рынок ягод и орехов совершенно конкурентный, цена килограмма ягод равна единице, а цена килограмма орехов равна p, причём жители Смурфеево могут и импортировать, и экспортировать ягоды и орехи. По виду КПВ деревни Смурфеево ясно, что альтернативные издержки единицы орехов (в единицах ягод) не постоянны и равны A_{1n} = \frac{n}{4b}. Известно, что после начала торговли в Смурфеево стали собирать 4 килограмма ягод и 6 килограммов орехов.
a. Чем равно значение p (то есть цена килограмма орехов)?
b. Чем равна стоимость всех собранных жителями Смурфеево ягод и орехов?
c. Назовём кривой торговых возможностей (КТВ) линию, содержащую множество наборов, доступных жителям Смурфеево в результате производства и торговли. Запишите уравнение КТВ Смурфеево и постройте на новой координатной плоскости графики КПВ и КТВ Смурфеево (на горизонтальной оси отметьте количество орехов).
d. Какое количество ягод и орехов потребят жители Смурфеево, максимизируя полезность?
Как выглядит структура торговли Смурфеево, то есть какой товар и в каком количестве они экспортируют, а какой импортируют?
1. (10 баллов за пункт 1)
Всего в деревне 100 смурфов, которые могут в любой пропорции поделить обязанности. Чтобы собрать b кг ягод, нужно 4b^2 смурфов. Чтобы собрать n кг орехов, нужно n^2 смурфов. Если все смурфы заняты сбором ягод или орехов, то: x_b + x_n = 100 (1 балл)
x_b = 4b^2; \quad x_n = n^2 (3 балла)
Тогда уравнение КПВ имеет вид 4b^2 + n^2 = 100. (3 балла)
b_{max} = 5 \text{ кг ягод} \\ n_{max} = 10 \text{ кг орехов}
КПВ похожа на четверть эллипса. (3 балла при указании точек пересечений с осями и подписывании осей)
2. (10 баллов за пункт 2)
При таких предпочтениях у смурфов есть строгая пропорция потребления. Ягоды и орехи являются совершенными комплементами с пропорцией b^* = n^* - 5 в оптимуме. (3 балла за верную пропорцию) Найдём пересечение КПВ и "линии наборов оптимальных для потребления:
\begin{cases} 4b^2 + n^2 = 100 \\ b = n - 5 \end{cases}
\Rightarrow 4(n - 5)^2 + n^2 = 100 \Rightarrow 5n^2 = 40n, n^* = 8, b^* = 3 (2 балла за оптимальное количество собранных ягод и орехов)
При этом для сбора ягод потребуется 36 смурфов, а для сбора орехов 64 смурфа (2 балла за оптимальное распределение смурфов)
3. (a) 25 баллов за пункт 3)
(18 баллов за 3(a) - 3(c))
Рынок ягод и орехов совершенно конкурентен, поэтому цена орехов p_n постоянна. Поскольку цены постоянны, их соотношение \frac{p_n}{p_b} постоянно и равно пропорции объема орехов на ягоды (то есть альтернативным издержкам единицы орехов в внешнем рынке).
Так как p_b = 1, "внешние" альтернативные издержки единиц орехов в ягодах (то есть отношение предельных издержек производства) AI_{W}(1n) = \frac{MC_n}{MC_b} = \frac{p_n}{p_b} = p )
(3 балла за обоснованное нахождение внешних альтернативных издержек/пропорции обмена благ на внешнем рынке)
По условию задачи в любой точке альтернативные издержки производства единиц орехов (в ягодах) равны AI(1n) = \frac{n}{4b}, а в точке оптимума n^* = 6; b^* = 4. Следовательно, альтернативные издержки производства оптимальной единицы орехов равны AI(1n^*) = \frac{6}{4 \cdot \frac{2}{25 - n^*/4}}
Заметим, что альтернативные издержки производства единицы орехов возрастают, а "внешние" альтернативные издержки (соотношение рыночных цен) постоянны, то в точке оптимального выпуска альтернативные издержки внутренние производства совпадают с внешними альтернативными издержками, то есть AI_{W}(n) = AI_{вн.}(n). (3 балла за обоснование касания КПВ и КТВ)
Тогда \frac{3}{8} = p, следовательно p_n = \frac{3}{8} (2 балла за нахождение цены орехов)
(b) Стоимость собранных ягод и орехов: 6 \times \frac{3}{8} + 4 \times 1 = 6,25 (1 балл за определение стоимости набора)
Точка P — это производственный оптимум деревни Смурфеево остается такой же, как и в пункте 2. Её координаты известны из условия, выше показано, как может быть интерпретирована информация о данной точке (альтернативный вариант — построение линии уровня для соотношений рыночных цен и нахождение наиболее высокой линейной, которая будет являться кривой торговых возможностей). В точке P равны альтернативные издержки производства единицы орехов AI_n и соотношение рыночных цен орехов и ягод, которое равно p.
КТВ — это линия, проходящая через точку спецификации с углом наклона p = \frac{3}{8}.
Зная стоимость собранных ягод и орехов в точке P и цены за единицу ягод и орехов, можно записать уравнение КТВ (альтернативно можно было бы получить координаты одной из точек пересечения с осями, исходя из возможности продать все собранные в точке P ягоды или орехи).
(d) (3 балла за пункт (d))
Предпочтения Смурфов не изменились b^* = n^* - 5.
Теперь все доступные наборы ограничены КТВ деревни.
\frac{3}{8} n + 1 \times b = 6,25
Найдём оптимальный набор потребления Смурфов при тор-
говле:
\begin{cases} n^* = \frac{90}{11}; \\ b^* = \frac{35}{11}. \end{cases}
(3 балла за нахождение оптимума)
(e) (4 балла за пункт (e))
Смурфы импортируют орехи (1 балл) и экспортируют ягоды (1 балл), т.к. они производят 6кг орехов и 4кг ягод, но не потребляют больше орехов \left(\frac{90}{11}\right) и меньше ягод \left(\frac{35}{11}\right).
Импорт орехов равен:
\frac{90}{11} - 6 = \frac{24}{11} \text{ (кг)} \quad (1 \text{ балл})
Экспорт ягод равен:
4 - \frac{35}{11} = \frac{9}{11} \text{ (кг)} \quad (1 \text{ балл})