Задача 1.2.4. Верблюд
На рынке воды в Сахаре работает Верблюд, который может пользоваться двумя колодцами. Из каждого колодца за день можно достать максимум литров воды. Пусть — объём воды, который Верблюд достаёт из колодца под номером . Владелец колодцев назначил тариф на воду таким образом, что -тый литр в каждом колодце стоит сахарской песеты. Выведите функцию издержек , если у Верблюда на добычу воды есть часов. Время в издержках учитывать не нужно, ведь добыча воды — единственный род деятельности, доступный Верблюду. Рассмотрите два случая:
а) . Если , то на добычу воды из колодца под номером тратится часов. Если , то на добычу каждого нового литра из этого колодца тратится часа. Дорога между колодцами не занимает времени.
ВЭШ 2021-2022
Ответ
При , очевидно, производство будет только на одном заводе. Тогда издержки будут равны . Желая произвести больше, фирма будет производить какое-то количество, меньшее на втором заводе и допроизводить сверх на первом заводе, потому что у неё по-другому не хватит времени. Причём фирма всегда будет тратить все предоставленные ей часа, потому что на первом заводе предельные издержки будут меньше, но времени тратиться будет больше. Пусть . Ограничение по времени: . Выражаем , и получаем, что . Теперь подставляем ограничение по сумме количеств в издержки и минимизируем по , учитывая все наложенные на него ограничения:
.
Это парабола ветвями вниз, вершина , значит будем брать граничную точку из области определения слева . Подставляем в функцию и получаем:
Больше произвести нельзя, потому что истратится всё время(это случай, когда на обоих заводах производится по и ещё на «медленном» участке одного из заводов).
б) . Время, за которое Верблюд достанет -тый литр из колодца равно часов. Дорога от одного колодца до другого занимает минут. Прочие издержки отсутствуют.
Ответ
Так как цена литра убывает, то начав добычу из одного колодца, при наличии времени на производство желаемого объёма, фирма продолжит добычу из этого колодца. Таким образом из одного колодца можно добыть до литров, и это подходит под ограничение по времени: .
Затем для увеличения объёма надо начать добычу в другом колодце, наращивая объём до тех пор, пока хватает времени. Не забываем про минут часа. Ограничение по времени выглядит таким образом при добыче сразу из обоих колодцев: . Из первого колодца добывается , поэтому из второго можно будет достать .
Чтобы ещё увеличить объём, надо уменьшить производства на первом колодце и увеличить на втором, потому что только так хватит времени, ведь на втором заводе один литр до сих пор добывается за меньшее время, чем на втором.( баллов) Запишем . Можем подставить сюда . Получится парабола ветвями вниз: . Вершина . Это больше (и будет расти при росте объема), поэтому надо взять левое ограничение .
Из ограничения по времени найдём ограничение на в зависимости от : ( балл)
Левая граница больше нуля(очень просто проверяется с помощью подставки, например ). Также проверим, что левая граница действительно левее вершины, получим , что верно всегда для подходящих объемов. Значит подставляем ее в издержки, получаем
Больше корня из произвести нельзя: . Максимизируем, получаем .
В итоге: