Доставлять или так продавать?
Фабрика, расположенная в области города N, производит мебельные гарнитуры и стремится получить максимальную прибыль. Ежемесячные затраты фабрики на производство гарнитуров в тысячах рублей описываются функцией TC(Q)=Q^2+100Q+200, где Q — количество гарнитуров в штуках. Готовые гарнитуры фабрика продает мебельному салону из другого региона по цене 176 тысяч рублей за штуку, после чего салон реализует гарнитуры потребителям на своих условиях. Фабрика заказывает доставку гарнитуров у транспортной компании.
а) ( 5 баллов) В первый месяц сотрудничества мебельной фабрики и транспортной компании фабрика пользовалась услугами перевозки гарнитуров бесплатно. Определите, сколько гарнитуров должна была произвести фабрика в течение месяца и какую прибыль она при этом получила бы.
Отметим, что функция прибыли \Pi(Q)=TR(Q)-TC(Q) для всех пунктов.
Если фирма не оплачивает доставку, то её прибыль \Pi(Q)=176Q-Q^2-100Q-200. График функции — парабола ветвями вниз, максимум этой функции в вершине Q^*=38. Прибыль \Pi(38)=1244.
б) ( 6 баллов) Во второй месяц, по условиям контракта, доставка становится платной. Заказ одного автомобиля, то есть стоимость одной перевозки, обходится в 180 тысяч рублей, при этом в автомобиль можно погрузить не более 5 гарнитуров. Определите, сколько гарнитуров должна была произвести фабрика в этом месяце, а также какую прибыль она при этом получила бы.
Если фирма оплачивает доставку, то её прибыль зависит от количества доставок. Попробуем решить задачу, используя среднюю стоимость доставки одного гарнитура 180/5=36. Тогда прибыль \Pi(Q)=176Q-Q^2-100Q-200-36Q. График функции — парабола ветвями вниз, максимум этой функции в вершине Q^*=20. Количество получилось кратным 5, значит, будет 4 доставки. Прибыль \Pi(20)=200.
в) ( 7 баллов) Во все месяцы, начиная с третьего, стоимость доставки будет составлять 200 тысяч рублей. Определите, сколько гарнитуров в этом случае должна была производить фабрика в месяц, а также какую прибыль она при этом получила бы.
Попробуем также решить задачу, используя среднюю стоимость доставки одного гарнитура 200/5=40. Тогда прибыль \Pi(Q)=176Q-Q^2-100Q-200-40Q. График функции — парабола ветвями вниз, максимум этой функции в вершине Q^*=18. Количество не получилось кратным 5.
Рассмотрим 2 случая: фирма остановится на 3 доставках или фирма сделает 4 доставки. Если доставки 3, то количество будет 15 (если меньше, то прибыль снизится), \Pi(15)=115. Если доставки будет 4, заметим, что фирма также будет производить полную загрузку, так как стоимость доставки всегда равна 800, а при увеличении количества прибыль увеличивается, \Pi(20)=120. Получается, выгоднее производить 20 гарнитуров.
г) ( 7 баллов) Предположим, что через полгода вместо реализации гарнитуров через мебельный салон, фабрика решает открыть на своей территории магазин для самостоятельной продажи гарнитуров. В этом случае фабрике не придется оплачивать доставку гарнитуров, однако необходимо будет нести ежемесячные расходы в объёме X тысяч рублей в месяц (на аренду и охрану помещения магазина, заработную плату продавцов и др.), не зависящие от количества проданных гарнитуров. Определите, при какой максимальной величине расходов X фабрике выгоднее продавать гарнитуры в собственном магазине. Ежемесячную обратную функцию спроса на гарнитуры, продаваемые в магазине фабрики, она оценивает как P=170-0,25Q, где Q — количество гарнитуров в штуках, P — цена одного гарнитура в тысячах рублей. Считайте, что фабрика не конкурирует с мебельным салоном, так как он находится в другом регионе, и, открыв магазин, она становится монополистом в своем регионе.
Для того, чтобы было более выгодно открывать магазин, прибыль должна быть не меньше 120. Прибыль от открытия магазина \Pi(Q)=170Q-0,25Q^2-Q^2-100Q-200-X. График функции — парабола ветвями вниз, максимум этой функции в вершине Q^*=28. \Pi(28)=780-X. Получается, что 780-X\geq 120, X\leq 660, то есть минимальный X=660.