Два завода и склад
Мистер Фейнман очень любит играть на барабанах. В преддверии барабанного фестиваля он решил продавать любимый музыкальный инструмент в своем городе. У Фейнмана есть два небольших заводика, а также склад, на котором уже лежат 5 барабанов. Город представляет собой отрезок длиной 20 км, расположение заводов (и функции издержек на них, рассчитанные в долларах) и склада на рисунке:
Других продавцов барабанов в городе нет, спрос на продукцию Фейнмана имеет вид Q=20-p, где p — цена в долларах. Все барабаны, которые хранятся на складе и не будут проданы, придется выкинуть.
Мистер Фейнман хотел бы сам контролировать процесс продажи, поэтому откроет только один магазин. Если товар нужно везти в магазин с завода или со склада, Фейнман должен оплатить транспортировку через систему «Сократ» из расчета 1 доллар за километр за каждую единицу продукции. Он планирует выделить для магазина помещение в одном из имеющихся сооружений: на заводе или на складе.
Где мистеру Фейнману следует открыть магазин и сколько барабанов в нем продавать, если он намерен получать максимальную прибыль?
Разберём три возможных случая выбора мистером Фейнманом места для магазина.
Магазин на заводе A
Рассчитаем предельные издержки (с учётом доставки) продукции, привезённой из разных мест:
MC_A = 0{,}5q_A, \ MC_S = 10, \ MC_B = 5q_B + 20
Фейнман никогда не захочет продавать больше 10 единиц продукции, так как с Q=10 начинается неэластичный участок функции спроса, где выручка убывает, то есть прибыль монополиста не может быть максимальна. При этом видно, что даже если произвести 10 единиц продукции на заводе A, предельные издержки производства последней единицы окажутся меньше, чем предельные издержки производства любой единицы в любом другом месте. Следовательно, всё производство будет организовано там же, где находится магазин, и общая функция издержек составит TC=0,25Q^2. Функция прибыли в этом случае имеет вид:
\pi=(20-Q)Q-0,25Q^2
Это парабола с ветвями вниз, максимум ее достигается при Q^*=8. Подставляя это значение в функцию прибыли, получаем \pi^*=80.
Ситуация изображена на рис. 1.1(a) (заштрихованная площадь соответствует максимальной прибыли).
Магазин на складе
Рассчитаем предельные издержки (с учётом доставки) продукции, привезённой из разных мест:
MC_A = 0{,}5q_A + 10, \ MC_S = 0, \ MC_B = 5q_B + 10
Ясно, что в первую очередь нужно продать все 5 единиц, находящиеся на складе. При этом MR(5)=10, то есть продажа любого количества продукции, превышающего 5, будет приносить меньше 10 долларов предельного дохода в расчёте на дополнительную единицу. Доставка продукции с любого из заводов стоит 10 за единицу (а ещё есть издержки производства), поэтому продавать произведенные на заводах единицы продукции невыгодно. Продав 5 единиц, Фейнман получит прибыль, равную \pi^*=5*15=75.
Ситуация изображена на рис. 1.1(b).
Магазин на заводе B
Рассчитаем предельные издержки (с учётом доставки) продукции, привезённой из разных мест:
MC_A = 0{,}5q_A + 20, \ MC_S = 10, \ MC_B = 5q_B
Предельные издержки (включая доставку) даже для самых первых единиц продукции на заводе A больше 20. При этом, используя завод B и продукцию со склада, можно произвести 9 единиц продукции с предельными издержками, не превышающими 20 ( 5 со склада и 4 на заводе), но даже при 9 единицах продукции предельный доход уже существенно меньше предельных издержек; следовательно, в этом случае завод A использоваться не будет. Сравнивая предельные издержки на доставку со склада и производство на заводе B, можно заметить, что производство на заводе дешевле при первых 2 единицах (10 > 5q_b \Leftrightarrow q_b < 2), затем дешевле брать продукцию со склада, но там находится только 5 единиц, поэтому, если мы хотим производить Q>7, придётся вернуться на завод и производить там (Q-5) единиц продукции. Таким образом, функция предельных издержек имеет вид:
MC = \begin{cases} 5Q, & \text{если } Q \leq 2; \\ 10, & \text{если } 2 \leq Q \leq 7; \\ 5(Q - 5), & \text{если } Q \geq 7. \end{cases}
Функция предельной выручки имеет вид MR=20-2Q (убывающая функция) и пересекает неубывающую функцию предельных издержек при Q=5. Значит, фирма произведет на втором заводе 2 барабана, потратит на это 10 долларов, а еще 3 единицы привезет со склада, потратив на это 30 долларов. Выручка от продажи 5 единиц продукции составит 75, то есть прибыль мистера Фейнмана будет равна \pi^*=35.
Ситуация изображена на рис. 1.1(c).
Сравнение вариантов
Получается, то максимальная прибыль \pi^*=80 достигается при открытии магазина на заводе A и продаже на нём 8 произведенных там же барабанов.