О пользе конкуренции
Как конкуренция на рынке влияет на стимулы фирм к инновациям? Данный вопрос является одним из классических в экономической науке. В этой задаче мы рассмотрим модель, проливающую на него свет.
На рынке пряжи для вязания действует фирма-монополист «Анна». Обратная функция спроса задана уравнением , предельные издержки производства постоянны и изначально равны . «Анна» может снизить предельные издержки производства, осуществляя инновации. Чтобы снизить предельные издержки на , нужно понести дополнительные издержки в размере на инновационную деятельность, где . Других издержек, кроме издержек на производство и инновации, фирма на несет.
а) ( балла) Выведите общие издержки «Анны» на производство и инновации как функцию только от . Подсказка: проминимизируйте издержки «Анны» по при произвольно выбранном .
Ответ
Издержки «Анны» в зависимости от и имеют следующий вид:
Это парабола ветвями вверх относительно , минимум лежит в вершине, если она доступна, или в точке в противном случае.
Подставим найденную зависимость в исходную функцию издержек:
б) ( балла) Найдите оптимальный объем выпуска и инноваций «Анны» в зависимости от .
Ответ
Заметим, что при фиксированном для максимизации прибыли «Анна» должна выбирать такой уровень инноваций , который минимизирует ее издержки. Поэтому, с учетом решения предыдущего пункта, мы можем записать функцию прибыли «Анны» только от :
На обоих участках функция прибыли является квадратичной параболой с ветвями вниз. Оптимум на первом участке достигается в вершине соответствующей параболы: . Вершина на втором участке недоступна в силу , а потому оптимум достигается на границе: . Но поскольку функция прибыли непрерывна, и граница является общей для обоих участков, а на первом участке мы выбираем другую точку, она не доставляет глобальный максимум прибыли. Стало быть,
и .
в) ( баллов) Представим, что до того, как «Анна» осуществила инновации, на горизонте замаячила другая фирма –– «Белла», потенциальный конкурент «Анны». Ее предельные издержки постоянны и равны . Снизить их она не может. Взаимодействие фирм устроено следующим образом.
«Анна» выбирает объем выпуска и инноваций .
Пронаблюдав выбор «Анны», «Белла» решает, зайти на рынок, или нет. Если она входит, то затем выбирает объем , а если не входит, то . Издержки входа на рынок равны .
На рынке устанавливается цена по правилу , фирмы продают произведенную продукцию и получают соответствующую прибыль, взаимодействие заканчивается.
Определите значения и , которые выберут фирмы в зависимости от .
Ответ
Решим игру между «Анной» и «Беллой» с конца. Воспринимая как заданную величину, «Белла» решает следующую задачу:
Эта функция –– парабола ветвями вниз относительно при фиксированном , а потому ее максимум лежит либо в вершине, если она доступна, либо в нуле:
Зная это и пользуясь тем фактом, что , можем записать функцию прибыли «Анны».
Эта функция –– прибыль «Анны» как фирмы-монополиста с поправкой на появление нового участка при . Пользуясь рассуждениями из пункта а) можно откинуть анализ третьего участка –– оптимум будет достигаться либо на первом, либо на втором, на каждом из которых функция ведет себя как парабола ветвями вниз.
В зависимости от оптимум на первом участке достигается в точке
На втором же участке
Однако по условию , поэтому оптимум на втором участке всегда лежит на границе. Значит, оптимум всей функции совпадает с оптимумом на первом участке, поскольку если оптимум первого участка лежит на границе, оба оптимума совпадают, а если точка оптимума на первом участке является внутренней, то значение функции прибыли в ней больше, чем на границе.
г) ( балл) В каком из пунктов –– б) или в) –– «Анна» больше вкладывается в инновации?
Ответ
Заметим, что при верно, что и , поэтому объем инноваций в случае монополизации рынка (пункт б)) всегда меньше, чем при наличии конкуренции (пункт в)):
.
д) ( балл) Вы –– исследователь некоторого рынка, и видите что на нем действует лишь одна фирма. Всегда ли верно, что выпуск этой фирмы равен ее монопольному выпуску? Почему? Ваш ответ должен быть основан на контексте задачи.
Ответ
Как видно из решения пункта в), при малых предельных издержках инноваций «Анна» полностью вытесняет «Беллу» , выбирая выпуск больше монопольного:
Стало быть, если только у одной из фирм выпуск положителен, то он может не быть равен ее монопольному выпуску, коль скоро он выбран «с запасом» из соображений вытеснения конкурентов с рынка.