Решим игру между «Анной» и «Беллой» с конца. Воспринимая q_A как заданную величину, «Белла» решает следующую задачу:

\pi_B = p q_B - TC_B = (1 - q_A - q_B)q_B - 0.5 q_B = (0.5 - q_A) q_B - q_B^2 \;\to\; \max.

Эта функция –– парабола ветвями вниз относительно q_B при фиксированном q_A, а потому ее максимум лежит либо в вершине, если она доступна, либо в нуле:

q_B = \begin{cases} \dfrac{0.5 - q_A}{2}, & q_A \le 0.5,\\[6pt] 0, & q_A \ge 0.5, \end{cases}

Зная это и пользуясь тем фактом, что k>1, можем записать функцию прибыли «Анны».

\pi_A = p q_A - TC_A = (1 - q_A - q_B) q_A - TC_A \;\to\; \max.

\pi_A = \begin{cases} \displaystyle \Bigl(1 - q_A - \tfrac{0.5 - q_A}{2}\Bigr) q_A - 0.5 q_A + \tfrac{1}{2k}\,q_A^{2}, & q_A \le 0.5,\\[10pt] \displaystyle (1 - q_A) q_A - 0.5 q_A + \tfrac{1}{2k}\,q_A^{2}, & 0.5 \le q_A \le 0.5k,\\[8pt] \displaystyle (1 - q_A) q_A - 0.125\,k, & q_A \ge 0.5k. \end{cases}

\pi_A=\begin{cases} 0.25q_A-\Bigl(0.5-\dfrac{1}{2k}\Bigr)q_A^{2}, & q_A\le 0.5,\\[6pt] 0.5q_A-\Bigl(1-\dfrac{1}{2k}\Bigr)q_A^{2}, & 0.5\le q_A\le 0.5k,\\[6pt] q_A-q_A^{2}-0.125k, & q_A\ge 0.5k; \end{cases}

Эта функция –– прибыль «Анны» как фирмы-монополиста с поправкой на появление нового участка при q_A\leq 0,5. Пользуясь рассуждениями из пункта а) можно откинуть анализ третьего участка –– оптимум будет достигаться либо на первом, либо на втором, на каждом из которых функция ведет себя как парабола ветвями вниз.

В зависимости от k оптимум на первом участке достигается в точке

q_A=\begin{cases} \dfrac{k}{4(k-1)}, & \dfrac{k}{4(k-1)}\le 0.5,\\[6pt] 0.5, & \dfrac{k}{4(k-1)}\ge 0.5, \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad q_A=\begin{cases} 0.5, & k\le 2,\\[4pt] \dfrac{k}{4(k-1)}, & k>2, \end{cases}

На втором же участке

q_A=\begin{cases} 0.5, & \dfrac{k}{2(2k-1)}\le 0.5,\\[6pt] \dfrac{k}{2(2k-1)}, & \dfrac{k}{2(2k-1)}\ge 0.5, \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad q_A=\begin{cases} \dfrac{k}{2(2k-1)}, & k\le 1,\\[4pt] 0.5, & k\ge 1. \end{cases}

Однако по условию k>1, поэтому оптимум на втором участке всегда лежит на границе. Значит, оптимум всей функции совпадает с оптимумом на первом участке, поскольку если оптимум первого участка лежит на границе, оба оптимума совпадают, а если точка оптимума на первом участке является внутренней, то значение функции прибыли в ней больше, чем на границе.

q_A^{\star}=\begin{cases} 0.5, & k \le 2,\\[6pt] \dfrac{k}{4(k-1)}, & k \ge 2, \end{cases}

I^{\star}=\dfrac{q_A^{\star}}{k}= \begin{cases} \dfrac{1}{2k}, & k \le 2,\\[6pt] \dfrac{1}{4(k-1)}, & k \ge 2, \end{cases}

q_B^{\star}=\dfrac{0.5-q_A^{\star}}{2}= \begin{cases} 0, & k \le 2,\\[6pt] 0.5-\dfrac{k}{4(k-1)}, & k \ge 2, \end{cases} = \begin{cases} 0, & k \le 2,\\[6pt] \dfrac{k-2}{8(k-1)}, & k \ge 2. \end{cases}