Найдем сначала оптимальный выпуск фирмы, если она выбрала определенный налог.

1) Налог на выручку. Фирма будет максимизировать

\pi_{\nabla}(q) = (1 - 0.1) TR(q) - TC(q) = 0.9pq - 0.5q^2 - 10q.

Графиком функции прибыли является парабола с ветвями вниз, поэтому оптимальный выпуск находится в ее вершине, если абсцисса вершины неотрицательна, и равен нулю в противном случае: q=0,9p-10 при p\geq 100/9 и q=0 при p<100/9. Максимальная прибыль при этом составит

\pi_{\nabla}(p) = \begin{cases} 0, & \text{если } p < \frac{100}{9}; \\ \frac{(0,9p - 10)^2}{2}, & \text{если } p \geq \frac{100}{9}. \end{cases}

2) Налог на прибыль. Фирма будет максимизировать

\pi_{\triangle}(q) = (1 - 0,36) (TR(q) - TC(q)) = 0,64(pq - 0,5q^2 - 10q).

Графиком функции прибыли вновь является парабола с ветвями вниз, поэтому оптимальный выпуск находится в ее вершине, если абсцисса вершины положительна, и равен нулю в противном случае: q=p-10 при p\geq 10 и q=0 при p<10. Максимальная прибыль при этом составит

\pi_{\Delta}(p) = \begin{cases} 0, & \text{если } p < 10; \\ 0,64 \frac{(p - 10)^2}{2}, & \text{если } p \geq 10. \end{cases}

3) Теперь найдем, при каких ценах выгоднее выбирать налог на выручку, а при каких — налог на прибыль. Выбирать налог на выручку выгоднее, если \pi_{\nabla}(p)>\pi_{\Delta}(p). Разобьем значения цены на интервалы в соответствии с полученными выше результатами:

p\leq 10. В этом случае оптимальный выпуск при двух налогах совпадает и равен 0.

10<p\leq 100/9. В этом случае \pi_{\Delta}(p)>0, а \pi_{\nabla}(p)=0 — лучше выбирать налог на прибыль и производить q=p-10.

p>100/9. В этом случае налог на прибыль выгоднее, если

0,64 \frac{(p - 10)^2}{2} > \frac{(0,9p - 10)^2}{2}.

Это неравенство легко решить, умножая обе части на 2 и извлекая квадратный корень (выражения в скобках положительны). Получаем p<20 — условие, при котором налог на прибыль (и производить q=p-10 ) выгоднее. При p>20 выгоднее выбирать налог на выручку (и производить q=0,9p-10 ), при p=20 варианты равнозначны.

В итоге, функция предложения фирмы будет описываться уравнением

q_s(p) = \begin{cases} 0, & \text{если } p < 10; \\ p - 10, & \text{если } 10 \leq p \leq 20; \\ 0,9p - 10, & \text{если } p \geq 20. \end{cases}

(При p=20 з=20 оба выпуска (p-10 и 0,9p-10 ) являются оптимальными.)

При росте цены фирма может снизить выпуск. Например, при росте цены с 19 до 21 фирме выгодно снизить выпуск с 9 до 8,9 единиц.